![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Числовой ряд называется знакопеременным, если его членами являются как положительные, так и отрицательные числа.
Частным случаем знакопеременного ряда является ряд знакочередующийся, у которого знаки членов ряда чередуются.
(1)
Для любых знакопеременных рядов будем работать с одним достаточным признаком – признаком абсолютной сходимости;
для знакочередующихся рядов, кроме этого признака, будем еще использовать достаточный признак Лейбница.
Признак абсолютной сходимости:
Пусть дан знакопеременный ряд ![]() ![]() |
Для доказательства введем обозначения для частичных сумм обоих рядов:
Так как ряд из модулей сходится, то существует конечный предел .
В сумме введем дополнительные обозначения:
- это сумма всех положительных слагаемых,
- это сумма модулей всех отрицательных слагаемых.
Тогда .
Обе величины и
монотонно возрастают, так как состоят и положительных слагаемых, и каждая из них меньше
.
Последовательность является ограниченной, так как имеет конечный предел; поэтому являются ограниченными последовательности
и
, так как
<
и
<
.
Таким образом, для последовательностей и
выполняются условия ограниченности и монотонного возрастания, следовательно, по теореме Вейерштрасса, каждая из них является сходящейся. По теореме о разности сходящихся последовательностей заключаем, что существует конечный предел
Это и доказывает утверждение о сходимости знакопеременного ряда.
Примеры:
Исследуем сходимость следующих знакопеременных рядов по достаточному признаку абсолютной сходимости:
1) - знакопеременный ряд, так как
может быть и положительным и отрицательным при различных n;
Составим ряд из модулей членов данного ряда: - знакоположительный ряд,
Так как сходится, то и ряд из модулей сходится (по признаку сравнения в непредельной форме)
исходный ряд
сходится по признаку абсолютной сходимости.
2) - знакопеременный (точнее знакочередующийся) ряд, который сходится по признаку абсолютной сходимости, так как сходится ряд из модулей его членов
.
3) - знакочередующийся ряд,
ряд из модулей его членов расходится, поэтому сделать вывод о сходимости данного знакочередующегося ряда по признаку абсолютной сходимости нельзя.
1. Достаточный признак Лейбница (для знакочередующихся рядов):
Если для членов знакочередующегося ряда ![]() ![]() ![]() |
Для доказательства запишем в развернутом виде знакочередующийся ряд и составим его частичные суммы с четными номерами n:
и
монотонно возрастает;
эти же частичные суммы можно записать иначе:
таким образом последовательность частичных сумм с четными номерами удовлетворяет условиям ограниченности:
монотонно возрастает, поэтому по теореме Вейерштрасса заключаем, что существует конечный предел
n -четное. Теперь рассмотрим частичные суммы
нечетными номерами, которые можно представить сложением ближайшей частичной суммы
с четным номером и еще одного слагаемого:
;
Следовательно, последовательность частичных сумм с нечетными номерами сходится к тому же пределу S.
Таким образом
ряд сходится по определению сходимости.
Замечание
В формулировке признака Лейбница условие монотонного убывания членов ряда может выполняться, начиная с некоторого номера
Примеры:
Исследуем следующие знакочередующиеся ряды по признаку Лейбница:
1) - этот ряд называется рядом Лейбница;
проверяем для него требования признака Лейбница:
ряд сходится.
2)
Проверяем выполнение условий признака Лейбница:
а)
б) монотонное убывание членов проверяем с помощью производной, сделав мысленно расширение натуральных значений n на множество действительных чисел
Таким образом, оба условия признака Лейбница выполняются, поэтому данный знакочередующийся ряд сходится.
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 569 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!