Применение степенных рядов

Возможность разложения функции в степенной ряд позволяет существенно упростить многие математические операции: вычисление приближенных значений данной функции, дифференцирование, интегрирование, поскольку степенной ряд можно заменить многочленом (с учетом того, что оценка остатка ряда не превысит заданного значения погрешности). В частности, можно приближенно вычислять «неберущиеся» интегралы, находить приближенные решения дифференциальных уравнений и т.д.

Рассмотрим вычисление интегралов с помощью рядов.

Примеры.

1. Для вычисления интеграла разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора, используя разложение функции е^х:

Тогда =

С помощью этого равенства можно вычислить рассматриваемый интеграл при любом а с любой заданной точностью.

2. Вычислим интеграл , для чего разложим функцию в ряд:

- ряд, сходящийся при любом х. Интегрируя почленно, получим:

Приближенное решение дифференциального уравнения второго порядка , удовлетворяющее начальным условиям .

Если предположить, что решение имеет вид: , то требуется найти значения производных от частного решения при х = х₀. Из начальных условий следует, что . Тогда из исходного уравнения получаем, что . Дифференцируя обе части исходного уравнения по х, найдем: откуда можно определить и т.д.

Пример. Найти решение уравнения при

Решение: и т.д.

Можно получить общую формулу для производных любого порядка:

. При х = 0 эта формула дает

.

Так как то в нуль обращаются все производные, порядок которых не кратен четырем. В конечном счете решение имеет вид: