![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Возможность разложения функции в степенной ряд позволяет существенно упростить многие математические операции: вычисление приближенных значений данной функции, дифференцирование, интегрирование, поскольку степенной ряд можно заменить многочленом (с учетом того, что оценка остатка ряда не превысит заданного значения погрешности). В частности, можно приближенно вычислять «неберущиеся» интегралы, находить приближенные решения дифференциальных уравнений и т.д.
Рассмотрим вычисление интегралов с помощью рядов.
Примеры.
1. Для вычисления интеграла разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора, используя разложение функции ех:
Тогда =
С помощью этого равенства можно вычислить рассматриваемый интеграл при любом а с любой заданной точностью.
2. Вычислим интеграл , для чего разложим функцию
в ряд:
- ряд, сходящийся при любом х. Интегрируя почленно, получим:
Приближенное решение дифференциального уравнения второго порядка , удовлетворяющее начальным условиям
.
Если предположить, что решение имеет вид: , то требуется найти значения производных
от частного решения при х = х0. Из начальных условий следует, что
. Тогда из исходного уравнения получаем, что
. Дифференцируя обе части исходного уравнения по х, найдем:
откуда можно определить
и т.д.
Пример. Найти решение уравнения при
Решение: и т.д.
Можно получить общую формулу для производных любого порядка:
. При х = 0 эта формула дает
.
Так как то в нуль обращаются все производные, порядок которых не кратен четырем. В конечном счете решение имеет вид:
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 241 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!