Признаки сравнения

Теорема 2.2 (1-й признак сравнения). Если для двух рядов с положительными членами

u ₁ + u ₂ +…+ u_n +… (2.2)

и v ₁ + v ₂ +…+ v_n +… (2.3)

выполнено условие u_n ≤ v_n, то:

а) если ряд (2.3) сходится, то сходится и ряд (2.2);

б) если ряд (2.2) расходится, то расходится и ряд (2.3).

Доказательство. Пусть частичная сумма ряда (2.2) , частичная сумма ряда (2.3)

. Из условия теоремы следует, что s_n ≤ σ_n. Пусть Ряд (2.3) сходится. Тогда существует конечный предел его частичных сумм: Но s_n ≤ σ_n < σ, то есть последовательность частичных сумм ряда (2.2) ограничена сверху. Следовательно, по теореме (1.6) ряд (2.2) сходится.

Теперь предположим, что ряд (2.2) расходится. Тогда σ_n ≥ s_n, значит,

, то есть ряд (2.3) тоже расходится. Теорема доказана.

Следствие. Условие u_n ≤ v_n может выполняться начиная не обязательно с п = 1. Утверждение теоремы справедливо, если это условие выполняется для всех п, больших некоторого N (см. теорему 1.1).

Пример. Исследуем на сходимость ряд , сравнив его с рядом . Этот ряд сходится, так как последовательность его членов представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем , сумма которой равна . При любом n > 1 n ∙ 2 ⁿ > 2 ⁿ, следовательно, , поэтому по теореме 2.2 исследуемый ряд сходится.

Теорема 2.3 (2-й признак сравнения). Если для рядов (2.2) и (2.3) выполнено условие

то ряды (2.2) и (2.3) сходятся и расходятся одновременно.

Доказательство. Выберем число N такое, что для всех n > N выполняется неравенство

Тогда u_n < (A + 1) v_n. Если ряд сходится, то по теореме 1.2 сходится и ряд , следовательно, по теореме 2.2 сходится ряд . Наоборот, из расходимости ряда следует при этом расходимость .

Теперь выберем число А такое, что 0 < A < A, и зададим номер N, при котором при любом n > N. Отсюда u_n > A v_n, и, проводя рассуждения, аналогичные предыдущим, можно показать, что из сходимости следует сходимость , а из расходимости - расходимость . Теорема доказана полностью.

Следствие. При применении 2-го признака сравнения удобно брать в качестве ряда, с которым сравнивается данный ряд, ряд вида (см. пример в начале лекции). Напомним еще раз, что такой ряд сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1.

Пример. Общий член ряда можно представить в виде

(разделив числитель и знаменатель на х). Теперь очевидно, что . Поскольку ряд

сходится (так как α = 2 >1), сходится (по теореме 2.3) и исходный ряд.