Свойства степенных рядов

Теорема 5.2 (2-я теорема Абеля). Если R – радиус сходимости ряда (5.2) и этот ряд сходится при x = R, то он равномерно сходится на интервале (- R, R).

Доказательство.

знакоположительный ряд сходится по теореме 5.1. Следова-тельно, ряд (5.2) равномерно сходится в интервале [-ρ, ρ] по теореме 4.1. Из выбора ρ следует, что интервал равномерной сходимости – (- R, R), что и требовалось доказать.

Следствие 1. На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма ряда (5.2) есть непрерывная функция.

Доказательство.

Члены ряда (5.2) являются непрерывными функциями, и ряд равномерно сходится на рассматриваемом отрезке. Тогда непрерывность его суммы следует из теоремы 4.2.

Следствие 2. Если пределы интегрирования α, β лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда:

(5.5)

Доказательство этого утверждения следует из теоремы 4.3.

Теорема 5.3. Если ряд (5.2) имеет интервал сходимости (- R, R), то ряд

φ(x) = a ₁ + 2 a ₂ x + 3 a ₃ x ² +…+ na_nx^{n- 1} +…, (5.6)

полученный почленным дифференцированием ряда (5.2), имеет тот же интервал сходимости (- R, R). При этом

φ΄(х) = s΄(x) при |x| < R, (5.7)

то есть внутри интервала сходимости производная от суммы степенного ряда равна сумме ряда, полученного его почленным дифференцированием.

Доказательство.

Выберем ρ: 0 < ρ < R и ζ: ρ < ζ < R. Тогда ряд сходится, следовательно, то есть Если |x| ≤ ρ, то

где Таким образом, члены ряда (5.6) по модулю меньше членов знакоположительного ряда , который сходится по признаку Даламбера:

то есть является мажорантой для ряда (5.6) при Поэтому ряд (5.6) равно-мерно сходится на [-ρ, ρ]. Следовательно, по теореме 4.4 верно равенство (5.7). Из выбора ρ следует, что ряд (5.6) сходится в любой внутренней точке интервала (- R, R).

Докажем, что вне этого интервала ряд (5.6) расходится. Действительно, если бы он сходился при x ₁ > R, то, интегрируя его почленно на интервале (0, x ₂), R < x ₂ < x ₁, мы получили бы, что ряд (5.2) сходится в точке х ₂, что противоречит условию теоремы. Итак, теорема полностью доказана.

Замечание. Ряд (5.6) можно, в свою очередь, почленно дифференцировать и проделы-вать эту операцию сколько угодно раз.

Вывод: если степенной ряд сходится на интервале (- R, R), то его сумма представляет собой функцию, имеющую внутри интервала сходимости производные любого порядка, каждая из которых есть сумма ряда, полученного из исходного с помощью почленного дифференцирования соответствующее количество раз; при этом интервал сходимости для ряда из производных любого порядка есть (- R, R).

Тема 3 5. Разложение функции в степенной ряд. Единственность разложения. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций. Применение степенных рядов.

В предыдущих лекциях рассматривались степенные ряды, для которых в пределах области равномерной сходимости сумма ряда s(x) представляет собой непрерывную и бесконечно дифференцируемую функцию от х. Теперь поставим обратную задачу: найти степенной ряд, суммой которого является данная функция.

Определение 6.1. Представление функции в виде

(6.1)

называется ее разложением в степенной ряд.

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х₀ в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

1) функция f имеет на интервале (x₀ – R, x₀ + R) производные всех порядков, которые можно найти почленным дифференцированием ряда (6.1): (6.2)

2) (6.3)

3) ряды (6.1), (6.2) и (6.3) имеют одинаковые радиусы сходимости.

Доказательство всех трех утверждений следует из общих свойств степенных рядов (теоремы 5.2 и 5.3).

Теорема 6.2. Если функция f раскладывается в некоторой окрестности точки х₀ в сте-пенной ряд (6.1), то , и, следовательно, справедлива формула

(6.4)

Доказательство.

Дифференцируя т раз равенство (6.1), получим:

Примем х = х₀, тогда f^(m)(x₀) = m! a_m, что доказывает формулу (6.4).

Следствие. Если в некоторой окрестности заданной точки функция раскладывается в степенной ряд, то это разложение единственно.

Действительно, из теоремы 6.2 следует, что коэффициенты степенного ряда могут иметь только вид, задаваемый формулой (6.4).

Определение 6.2. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀ и имеет в этой точке производные всех порядков. Тогда ряд

называется рядом Тейлора.

Пример. Найдем разложение в ряд Тейлора при х₀ = 0 функции f(x) = 2 ^x.

. Следовательно,

.

Определение 6.3. Если при разложении в ряд Тейлора принимается х₀ = 0, то полученный ряд (6.5)

называется рядом Маклорена (см. предыдущий пример).