![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема 5.2 (2-я теорема Абеля). Если R – радиус сходимости ряда (5.2) и этот ряд сходится при x = R, то он равномерно сходится на интервале (- R, R).
Доказательство.
знакоположительный ряд
сходится по теореме 5.1. Следова-тельно, ряд (5.2) равномерно сходится в интервале [-ρ, ρ] по теореме 4.1. Из выбора ρ следует, что интервал равномерной сходимости – (- R, R), что и требовалось доказать.
Следствие 1. На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма ряда (5.2) есть непрерывная функция.
Доказательство.
Члены ряда (5.2) являются непрерывными функциями, и ряд равномерно сходится на рассматриваемом отрезке. Тогда непрерывность его суммы следует из теоремы 4.2.
Следствие 2. Если пределы интегрирования α, β лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда:
(5.5)
Доказательство этого утверждения следует из теоремы 4.3.
Теорема 5.3. Если ряд (5.2) имеет интервал сходимости (- R, R), то ряд
φ(x) = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x ² +…+ nanxn- 1 +…, (5.6)
полученный почленным дифференцированием ряда (5.2), имеет тот же интервал сходимости (- R, R). При этом
φ΄(х) = s΄(x) при |x| < R, (5.7)
то есть внутри интервала сходимости производная от суммы степенного ряда равна сумме ряда, полученного его почленным дифференцированием.
Доказательство.
Выберем ρ: 0 < ρ < R и ζ: ρ < ζ < R. Тогда ряд сходится, следовательно,
то есть
Если |x| ≤ ρ, то
где
Таким образом, члены ряда (5.6) по модулю меньше членов знакоположительного ряда
, который сходится по признаку Даламбера:
то есть является мажорантой для ряда (5.6) при Поэтому ряд (5.6) равно-мерно сходится на [-ρ, ρ]. Следовательно, по теореме 4.4 верно равенство (5.7). Из выбора ρ следует, что ряд (5.6) сходится в любой внутренней точке интервала (- R, R).
Докажем, что вне этого интервала ряд (5.6) расходится. Действительно, если бы он сходился при x 1 > R, то, интегрируя его почленно на интервале (0, x 2), R < x 2 < x 1, мы получили бы, что ряд (5.2) сходится в точке х 2, что противоречит условию теоремы. Итак, теорема полностью доказана.
Замечание. Ряд (5.6) можно, в свою очередь, почленно дифференцировать и проделы-вать эту операцию сколько угодно раз.
Вывод: если степенной ряд сходится на интервале (- R, R), то его сумма представляет собой функцию, имеющую внутри интервала сходимости производные любого порядка, каждая из которых есть сумма ряда, полученного из исходного с помощью почленного дифференцирования соответствующее количество раз; при этом интервал сходимости для ряда из производных любого порядка есть (- R, R).
Тема 3 5. Разложение функции в степенной ряд. Единственность разложения. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций. Применение степенных рядов.
В предыдущих лекциях рассматривались степенные ряды, для которых в пределах области равномерной сходимости сумма ряда s(x) представляет собой непрерывную и бесконечно дифференцируемую функцию от х. Теперь поставим обратную задачу: найти степенной ряд, суммой которого является данная функция.
Определение 6.1. Представление функции в виде
(6.1)
называется ее разложением в степенной ряд.
Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:
1) функция f имеет на интервале (x0 – R, x0 + R) производные всех порядков, которые можно найти почленным дифференцированием ряда (6.1): (6.2)
2) (6.3)
3) ряды (6.1), (6.2) и (6.3) имеют одинаковые радиусы сходимости.
Доказательство всех трех утверждений следует из общих свойств степенных рядов (теоремы 5.2 и 5.3).
Теорема 6.2. Если функция f раскладывается в некоторой окрестности точки х0 в сте-пенной ряд (6.1), то , и, следовательно, справедлива формула
(6.4)
Доказательство.
Дифференцируя т раз равенство (6.1), получим:
Примем х = х0, тогда f(m)(x0) = m! am, что доказывает формулу (6.4).
Следствие. Если в некоторой окрестности заданной точки функция раскладывается в степенной ряд, то это разложение единственно.
Действительно, из теоремы 6.2 следует, что коэффициенты степенного ряда могут иметь только вид, задаваемый формулой (6.4).
Определение 6.2. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет в этой точке производные всех порядков. Тогда ряд
называется рядом Тейлора.
Пример. Найдем разложение в ряд Тейлора при х0 = 0 функции f(x) = 2 x.
. Следовательно,
.
Определение 6.3. Если при разложении в ряд Тейлора принимается х0 = 0, то полученный ряд (6.5)
называется рядом Маклорена (см. предыдущий пример).
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 621 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!