Радикальный признак Коши

Теорема 2.5. Если для ряда , и_п ≥ 0, существует предел

(2.4)

то при l < 1 ряд сходится, а при l > 1 расходится.

Доказательство.

а) Пусть l < 1. Выберем число q такое, что l < q < 1. Тогда можно найти такой номер N, что

для всех n > N выполняется неравенство и, следовательно, u_n < qⁿ. Так как ряд

сходится, то по 1-му признаку сравнения сходится и ряд , тогда по теореме 1.1 сходится ряд .

б) Пусть теперь l > 1, тогда для всех п, больших некоторого N, то есть и_п > 1. Следовательно, не выполнено необходимое условие сходимости, и ряд расходится.

Замечание 1. Так же, как в признаке Даламбера, l = 1 не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

Замечание 2. Если для одного и того же ряда существуют пределы по Даламберу и по Коши, то они равны друг другу.

Пример. Для ряда - ряд сходится.