Простейшие свойства сходящихся рядов

Теорема 1.1. Исключение или добавление конечного числа слагаемых не влияет на сходимость ряда.

Доказательство.

Исключим из ряда (1.1) произвольные k членов и выберем значение п, при котором все отброшенные члены содержатся в частичной сумме s_n. Тогда s_n = c_k + S_n-k, где c_k – сумма отброшенных членов ряда, а S_n-k – сумма членов, входящих в s_n, но не входящих в c_k. Тогда , так как c_k – постоянная величина, не зависящая от п. Следовательно, конечные пределы и существуют или не существуют одновременно, что и доказывает утверждение теоремы.

Теорема 1.2. Если сходится ряд u ₁ + u ₂ +…+ u_n +… и его сумма равна s, то сходится и ряд cu ₁ + cu ₂ +…+ cu_n +…, сумма которого равна cs.

Доказательство. Обозначим частичную сумму второго ряда c_n. Тогда

, что и требовалось доказать.

Теорема 1.3. Если ряды а ₁ + а ₂ +…+ а_п +… (1.4)

и b ₁ + b ₂ +…+ b_n +… (1.5)

сходятся и их суммы соответственно равны s_a и s_b, то ряды (a ₁ + b ₁) + (a ₂ + b ₂) +… (1.6)

и (a ₁ – b ₁) + (a ₂ – b ₂) +… (1.7)

тоже сходятся, и их суммы равны s_a + s_b и s_a – s_b.

Доказательство. Пусть σ _n – частичная сумма ряда (1.6), а (s_a) _n и (s_b) _n – частичные суммы из того же числа слагаемых рядов (1.4) и (1.5). Тогда σ _n = (s_a) _n + (s_b) _n, поэтому

. Следовательно, ряд (1.6) сходится, и его сумма равна

s_a + s_b. Аналогичным образом доказывается сходимость ряда (1.7).