Понятие ряда

Определение 1.1. Бесконечная сумма чисел

u ₁ + u ₂ +…+ u_n +… (или ), (1.1)

где каждое число и_п можно вычислить, зная его номер п, называется числовым рядом.

При этом формула u_n = f (n), позволяющая найти каждый член ряда, называется формулой общего члена ряда.

Определение 1.2. Сумма конечного числа п первых членов ряда называется частичной суммой ряда:

s_n = u ₁ + u ₂ +…+ u_n (1.2)

Определение 1.3. Если существует конечный предел частичных сумм ряда:

, (1.3)

то говорят, что ряд сходится, а число s называется суммой ряда. Если конечный не существует, то ряд (1.1) называется расходящимся.

Замечание. Таким образом, свойства числовых рядов во многом определяются свойствами числовых последовательностей { s_n }.

Пример 1. Ряд сходится, так как представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем , сумму которой можно найти по формуле .

Пример 2. Рассмотрим ряд . Представим общий член ряда в виде: . Тогда частичная сумма s_n будет выглядеть так:

. Тогда . Следовательно, ряд сходится, и его сумма равна .

Пример 3. Ряд 1+1+1+…+1+… расходится, так как

Пример 4. Ряд 1-1+1-1+…+(-1) ^{п +1}+… тоже расходится, так как последовательность его частичных сумм имеет вид: s ₁ = 1, s ₂ = 0, s ₃ = 1, s ₄ = 0 и т.д., а такая последовательность предела не имеет.