И понятие аналитичности

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении к нулю:

(1.18)

Если этот предел существует при по произвольному пути, то функция называется дифференцируемой в точке z. Если функция дифференцируема во всех точках области , то она называется аналитической в этой области.

Теорема: если функция имеет непрерывные частные производные, то для аналитичности функции в этой области необходимо и достаточно выполнение условий

;

(1.19)

Докажем необходимость этих условий. Рассмотрим предел

По условию функция является аналитической, поэтому этот предел не зависит от пути, по которому .

Пусть сначала , а затем , тогда

(1.20)

Пусть теперь сначала , а затем , тогда

(1.21)

В силу аналитичности функции выражения (1.20) и (1.21) равны. Приравнивая их действительные части, получим первое равенство (1.19), а равенство мнимых частей приводит ко второму соотношению (1.19). Достаточность условий (1.19) примем без доказательства.

Соотношения (1.19) называются условиями Коши - Римана (иногда их так же называют условиями Даламбера - Эйлера).

Проверим выполнение условий (1.19) для функции .

, ;

, ;

, .

Оба условия (1.13) выполняются, поэтому показательная функция является аналитической. Аналогично можно доказать аналитичность всех остальных основных элементарных функций. То же относится ко всем вообще элементарным функциям, т.е. к функциям, которые составляются из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических операций и операции взятия функции от функции.