Теорема Коши для односвязной области

Если функция является аналитической в замкнутой односвязной области D, то интеграл от нее по любому замкнутому контуру, расположенному в области D, равен нулю: .

Доказательство:

Пусть функция аналитическая в области D. Тогда для нее выполняютcя условия Коши-Римана (1.19)

(1.25)

Вспомним условие равенства нулю криволинейного интеграла второго рода по любому замкнутому контуру

,

(1.26)

тогда первое условие (1.19) обращает в ноль второй интеграл в правой части равенства (1.25), а второе условие (1.19) – первый. Что и требовалось доказать.

Можно доказать, что для аналитической функции интеграл по контуру зависит только от начальной и конечной точек интегрирования. Более того, для аналитической функции имеет место формула Ньютона-Лейбница

,

(1.27)

где - первообразная аналитической функции .