Еліптичні рівняння

Задача Діріхле. Рівняння Лапласа та Пуассона

Нехай існує система нерухомих провідників, кожній провідник під’єднано до батареї. Тоді можна виміряти потенціал кожного провідника. Задача полягає в тому, щоб знайти потенціал в любій точці області, де немає зарядів. Після знаходження U для визначення можливо скористатися співвідношенням . Така задача називається краєвою.

Прямий метод знаходження U(x,y,z) основується на рівнянні Лапласа, яке має вигляд:

(7.27)

Тому потрібно знайти функцію U(x,y,z), яка задовольняє (7.27) і заданим граничним умовам. Для цього розіб’ємо простір сіткою (кубиками). Далі, якщо заряд відсутній, потенціал визначається рівнянням (7.28)

Тобто U(x,y) дорівнює середньому арифметичному значенню у чотирьох сусідніх комірках. Тому шаблон має вигляд:

Рис.7.6.

Формулу (7.28) можна отримати з кінцево-різницевої апроксимації рівняння Лапласа U_xx+U_yy=0

(7.29)

Якщо h=k, отримуємо

(7.30)