Пошук мiнiмального та максимального значень функцii

2.1. Завдання: доповнити програму побудови графіків операторами для знаходження min значення енергiї взаємодії методом рівномірного пошуку. Результат представити в реальних одиницях - м i Дж та вивести на екран.

2.2. Метод дихотомiї пошуку максимального значення функцiї.

Завдання 2.2.1: Написати програму пошуку max значення функцiї методом дихотомiї та перевiрити на тестуючому прикладi.

Функція F(X): F = ((0.1 * X -2) * X + 10) * X.; a = 2, b = 5, E = 0,001.

Розв'язок: Xmax = 3,3333429565,F(Xmax) = 14,81481481.

Завдання 2.2.2: Доповнити програму побудови графiкiв парних потенцiалiв взаємодiї пошуком Min значення функцiї методом дихотомiї та знайти Min. Яку потрiбно вибрати точнiсть?

Завдання 2.2.3.: Визначити температуру ідеального газу, при якій число молекул із швидкостями в заданому інтервалі від V до dV буде максимальне.

Вказівка: Закон Максвелла розподілу молекул газа по швидкостям визначається функцією , де n – число молекул в газі, m – маса однієї молекули, k – стала Больцмана, T – абсолютна температура.

Аналітична відповідь: .

Завдання 2.2.4.: Потенціальна енергія частинки змінюється за законом , де а і b-додатні константи і a¹b, r-відстань від центра поля. Знайти максимальне значення сили притягання, побудувати залежність F_r=F(r) проекції сили на радіус-вектор від модуля радіус-вектора.

Аналітична відповідь: .

Завдання 2.2.5.: Визначити, при якому положенні плоскої рамки з током в магнітному полі обертальний момент сил, який діє на рамку-максимальний.

Вказівка: Обертаючий момент сил, який діє на плоску рамку з струмом в магнітному полі , де I – сила струму в рамці, S – площа рамки, B – індукція магнітного поля, a - кут між напрямом вектора індукції магнітного поля і нормаллю до площини рамки.

Аналітична відповідь: .

Завдання 2.2.6.: Кільце радіуса R із дроту рівномірно заряджене і має заряд q. Визначити, на якій відстані r від центра кільця, напруженість електричного поля на вісі кільця буде максимальною.

Вказівка: напруженість поля, що створене рівномірно зарядженим кільцем у точках на його вісі, визначається за формулою , де e₀=8,85*10¹²Ф/м, e=1.

Аналітична відповідь: .

Завдання 2.2.7.: Квадратна рамка із мідного дроту з поперечним перерізом 1мм² знаходиться в магнітному полі. Потік вектора індукції поля змінюється за законом Ф=В₀Ssinwt Вб, де В₀=0,01Тл; ; T=0,02c. Площа рамки 25см². Площина рамки перпендикулярна до напрямку магнітного поля. Знайти електрорушійну силу індукції e_і, яка виникає в рамці та її максимальне значення.

Вказівка: Згідно закону електромагнітної індукції, електрорушійна сила індукції e_і в контурі рівна швидкості зміни потоку вектора індукції Ф_В, що береться з протилежним знаком. .

Аналітична відповідь: ; B.

Завдання 2.2.8.: В центрі квадратної кімнати площею 25м² висить лампа. Вважаючи лампу точковим джерелом світла, знайти, на якій висоті від підлоги повинна знаходитись лампа, щоб освітленість підлоги в кутах кімнати була максимальною.

Вказівка: Освітленість Е знаходиться за формулою , де І-сила світла джерела, r – відстань від джерела до площини, в якій визначається освітленість, a - кут падіння променів.

Сторона квадратної підлоги b, половина діагоналі підлоги а і висота h лампи зв’язані співвідношенням: , тому .

Аналітична відповідь: 2,5м.

Завдання 2.2.9.: Дві світлові хвилі однакової частоти, з коливаннями світлового вектора одного напрямку E₁=A₁cos(wt-kx+a₁) і E₂=A₂cos(wt-kx+a₂) додаються в одній точці простору. Необхідно отримати вирази для різниці фаз , які визначають умови інтерференційних максимумів і мінімумів інтенсивності світла.

Вказівка: При додаванні коливань однакової частоти і одного напрямку амплітуда результуючого коливання .

Аналітична відповідь: max: ; min: p; k=0,1,2…

Завдання 2.2.10.: Визначити при яких значеннях кута j між площинами поляризатора і аналізатора інтенсивність світла, яке пройшло поляризатор і аналізатор, максимальна, а при яких –мінімальна.

Вказівка: Згідно закону Малюса для поляризованого світла, , де I_P - інтенсивність світла, що пройшла поляризатор, I_A – інтенсивність світла, що пройшла аналізатор, j - кут між площинами аналізатора і поляризатора.

Аналітична відповідь: max: j=0; j=p; min: j=± .

Завдання 2.2.11.: Згідно закону Кірхгофа, відношення випромінювальної здатності тіла r_l,T до його поглинальної здатності a_l,T не залежить від природи тіла і є для всіх тіл єдиною універсальною функцією f(l,T) довжини хвилі l і температури Т: , аналітичний вираз для якої був знайдений у 1900 році Планком , де h-стала Планка; k-стала Больцмана; c-швидкість світла в вакуумі.

Використовуючи формулу Планка, отримати вираз для закону Віна, тобто знайти довжину хвилі, на яку припадає максимум випромінювальної здатності абсолютно чорного тіла при заданій температурі.

Вказівка: Поглинальна здатність абсолютно чорного тіла а_l,T=1, тому випромінювальна здатність рівна універсальній функції r_l,T=f(l,T). Для знаходження похідної корисно ввести позначення: ; ; ; тоді .

Аналітична відповідь: l= , b=2,9*10^-3мК.