![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Проведемо експеримент по розповсюдженню тепла слідуючим чином:
1) Візьмемо стержень довжиною L = 2 м, діаметром 2 см. Бокова поверхня стержня ізольована. Тепло розповсюджується лише через торці.
2) Помістимо стержень в термостат з Т= 100 C на час, достатній для вирівнювання температури всередині стержня.
3) Вийнявши його, до торців під'єднуємо термоелементи з T1 = 00С і T2 = 500C, які підтримують постійну температуру торців.
4) Слідкуємо за профілем T, тобто будуємо графіки залежності U(x) для різних моментів часу.
Математична модель теплопровідності включає:
1) Рівняння з частинними похідними
, 0<x<L, 0<t<
, (6.5)
яке описує процес теплопередачі.
2) Граничні умови, які описують теплообмін на границях при x=0 та x=L.
3) Початкові умови, які описують стан системи в початковий момент при t=0 для всіх x.
Рівняння теплопровідності включає:
Ut - швидкість зміни температури в часі (град/с);
Uxx. - вигнутість температурного профілю U(x,t) (міра відмінності температури в даній точці від сусідніх точок; вимірюється в град/м2).
Рівняння
(6.6)
отримано з рівняння закону збереження кількості теплоти і говорить про те, що температура U(x,t) (в деякий момент часу і в деякій точці x) збільшується (Ut>0) або зменшується (Ut<0) в залежності від того додатня чи від'ємна друга похідна.
Рис.6.1
З рисунку 6.1. видно:
1) Якщо U(x,t)< середнього значення T в сусідніх точках, то Uxx>0 (потік вздовж вісі x додатній).
2) Якщо U(x,t) дорівнює середньому значенню температури в сусідніх точках, то Uxx=0.
3) Якщо U(x,t)> середнього значення в сусідніх точках, то Uxx<0.
Для виділення частинних розв’язків необхідно задати:
граничні умови:
, 0<t<
, (6.7)
початкові умови:
U(x,0)=T0, 0 x
L. (6.8)
6.3. Задачі дифузійного типу
a) Теплообмін через бокову поверхню пропорційний різниці температур:
, (6.9)
при цьому
a2Uxx - дифузія тепла,
b(U-U0) - теплообмін через бокову поверхню.
Якщо b>0, то відбувається відтік тепла; якщо b<0 - притік тепла.
б) Якщо існує внутрішнє джерело тепла, то рівняння приймають вигляд. . (6.10)
в) Рівняння конвективної дифузії. Нехай домішки розповсюджуються вздовж потоку, який рухається зі швидкістю V. Тоді
. (6.11)
При цьому частки рухаються конвективно за рахунок руху гарячого повітря і дифундують за рахунок вихрових рухів повітря.
г) Рівняння дифузії
(6.12)
6.4. Типи граничних умов
1) Граничні умови I-го роду (на границі задана температура T1 i T2):
Рис.6.2.
2) Граничні умови II-го роду (задана температура навколишнього середовища)
Рис.6.3.
Витікаючий потік тепла при x = 0 рівний
, (6.13)
при x = L рівний
, (6.14)
K - коефіцієнт теплообміну, тобто скільки калорій проходить через границю за одну секунду при різниці температур 10С. Витікаючий потік більше 0, якщо Т стержня > Т середовища, та менше 0, якщо Т стержня < Т середовища.
При цьому використовується закон Фур'є. Потік тепла, який проходить через границю області, пропорційний нормальній похідній температури в напрямку внутрішньої нормалі.
3) Граничні умови III-го роду (заданий потік):
, 0<t<
. (6.15)
РОЗДІЛ 7
Кінцево-різницеві апроксимації та параболічні і гіперболічні диференціальні рівняння
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 567 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!