Неявні методи

Розглянемо схему:

(7.13)

з граничними умовами U_i,0=a; U_i,n=b.

Суттєва відмінність полягає в тому, що U в правій частині входять не з попередньої часової поверхні, а з цієї ж, тобто в правій частині всі U невідомі. Тому ми повинні розглядати (7.13), як систему рівнянь для визначення U_i+1,j(j=1…N).

Перепишемо схему, врахувавши m= :

j=1…N. (7.14)

Таким чином, маємо систему лінійних рівнянь з трьома невідомими в кожному рівнянні. Але кожне невідоме входить в три різні рівняння, маючи індекси j-1, j та j+1.

Тобто в матрично-векторній формі:

(7.15)

Тут матриця переходу має стрічковий трьохдіагональний вигляд. Граничні умови ma та mb входять як додаткові доданки біля першого і останнього компонентів вектора відомих значень функції (з попереднього кроку по часу). Такі системи можливо розв’язувати методом прогонки, що дозволяє значно зменшити кількість операцій.

Схема стійка при співвідношенні Dt та Dx, так як алгоритм безумовно стійкий.

Потенційно кращим є метод Кранка-Нікольсона, який є усередненням явної є неявної схеми:

(7.15)

Знову приходимо до необхідності розв'язку систем рівнянь, але крок по часу може бути довільним і крім того досягається другий порядок точності як по

просторовій змінній, так і по часовій.

Рис.7.4.

1-повна похибка,

2-похибка усічення,

3-похибка округлення.

Різні різницеві методи зручно запам'ятати з допомогою шаблонів.

Таблиця 2.

Шаблони для явної та двох неявних схем

Існують також напівдискретні методи: Галеркіна, зведення до систем диференціальних рівнянь, кінцевих елементів. Особливої уваги заслуговують методи розв’язку нелінійних рівнянь:

.(7.16)

При цьому диференціальне рівняння апроксимуємо по явній схемі виразом

, (7.17)

де

(7.18)

Другий порядок апроксимації для коефіцієнта теплопровідності:. (7.19)