Явна різницева схема для параболічного рівняння

Введемо поняття явної різницевої схеми та покажемо як з її допомогою розв'язуються параболічні задачі. Основна ідея полягає в тому, що рівняння типу U_t=U_xx замінюються його кінцево-різницевою схемою. При цьому отримуються формули, в яких розв'язок для одного моменту часу визначається через розв'язок в попередній момент часу. Таким чином, задачу U_t=U_xx разом з необхідними початковими та граничними умовами можливо розв'язати послідовно визначаючи розв'язок для всіх наступних моментів часу t= ,…

Розглянемо задачу теплопровідності: (Рис.7.1)

I роду ІІ роду

Рис.7.1.

Температура на лівому кінці стержня фіксована. На правому кінці відбувається теплообмін з навколишнім середовищем, так що тепловий потік пропорційний різниці температур кінця стержня і середовища. Температура середовища g(t).

Змішана задача має вигляд:

U_t=U_xx 0<x<1; 0<t< (7.5)

Граничні умови:

(7.6)

Початкові умови:

U(x,0)=0 0 x 1 (7.8)

Для розв'язку побудуємо сітку (Рис.7.2.)

Рис.7.2.

Значення Uij на лівій та нижній сторонах сітки відомі з граничних та початкових умов. Задача полягає в тому, щоб знайти значення у всіх інших точках. Для розв'язку замінимо частинні похідні U_t та U_xx їх кінцево-різницевими апроксимаціями

. (7.9)

Явна формула отримана.

Апроксимуємо першу похідну в граничній умові (заміняємо лівою різницевою схемою, так як справа від правої точки немає точок): .

Остаточно,

. (7.10)

7.3. Алгоритм обчислень по явній схемі

Крок 1. Знаходимо розв'язок на сітковій поверхні t+Dt для всіх точок, крім граничної

, j=2,3…n-1. (7.11)

Крок 2. Знаходимо розв'язок U_2,n в граничній точці

(7.12)

Крок 3. Для отримання розв'язку при t=2 повторюємо кроки 1 і 2, використовуючи U_i,j з попереднього кроку, збільшивши i на 1 (відповідно t=t+Dt).

Для використання явної схеми повинна виконуватись умова , яка забезпечує стійкість розв’язку.

Рис.7.3.