Класифікація рівнянь з частинними похідними

1) Порядком рівняння називається порядок частинних похідних.

U_t=U_xx- рівняння ІІ-порядку.

U_t=U_x- рівяння I- порядку.

U_t=UU_xxx+sinx- рівняння III- порядку.

2) Кількістю змінних називається кількість незалежних змінних:

U_t=U_xx- рівняння з двома змінними x і t,

- рівняння з трьома змінними.

3) Лінійність. В лінійних рівняннях залежна змінна і всі її частинні похідні входять лінійним чином, тобто вони не перемножуються одна на одну, не беруться в степені і т.д. Будь-яке лінійне рівняння можна звести до вигляду:

. (6.1)

Приклади:

(лінійне рівняння),

(нелінійне рівняння).

4) Існує три типи лінійних рівнянь.

Рівняння параболічного типу, які описують процеси теплопровідності та дифузії, для яких

. (6.2)

Рівняння гіперболічного типу, які описують коливні системи та хвильові явища

(). (6.3)

Рівняння еліптичного типу, які описують стаціонарні процеси

(). (6.4)

Приклади:

U_t=U_xx, ()- параболічне рівняння;

U_tt=U_xx,, ()- гіперболічне рівняння;

U_xy=0, () - гіперболічне рівняння;

U_xx+U_yy=0, () - еліптичне рівняння;

yU_xx+U_yy=0, ()- тип рівняння залежить від значення y.

В випадку змінних коефіцієнтів тип рівняння може змінюватись від точки до точки.