Розв'язок диференціальних рівнянь II-го порядку

Нехай потрібно розв'язати рівняння типу . Для цього дане рівняння розписуємо як систему двох диференціальних рівнянь першого порядку з відповідними початковими умовами для x₀ і V₀= :

. (5.16)

Для розв'язку даної системи, основаному на схемі Ейлера, спочатку знаходимо нове значення V=V+F*dt, а потім нове значення x=x+V*dt.

Одним iз більш точніших методів розв'язку таких рiвнянь є модифікований метод Ейлера, коли отриманi значення функції та її похiдної використовуються як початковi данi для слiдуючого кроку по часу за схемою:

1 крок: шукається нове значення швидкостi:

(5.17)

2 крок: шукається нове значення координати:

(5.18)

Можливий i 3 крок уточнення швидкостi:

(5.19)

де сила F(x(i+1)) обраховується уже з врахуванням змiни координати.

3 (або 4 крок): t(i+1)=t(i)+dt та все повторюється заново, тобто швидкiстю V(i) стає V¢(i+1) або V(i+1) (для випадку з кроком 3). Крок 3 вводиться для підвищення точностi обрахунку, коли тiло рухається в складних або сильнозмiнних полях.