Розв'язок системи диференціальних рівнянь I-го порядку

Для розв'язку системи диференціальних рівнянь використовується той же метод Ейлера, коли розв'язки для функцій x(t) та y(t) на наступному кроці t+dt обраховуються через значення на попередньому кроці t. Для початку обрахунків необхідно знати початкові умови x(0) та y(0).

Завдання 6. Дослідити розвиток популяції "хижак-жертва", яка описується системою рівнянь:

де k₁>0; k₂<0; k₃<0; k₄>0. Початкові умови: x=x₀=80; y=y₀=30.

Популяція жертв x(t) описується правилами:

1. Народжуваність x_b і смертність x_d – константи: x_b>x_d. Тобто без хижаків жертви росли б із швидкістю (x_b-x_d) x=k₁*x.

2. Число випадків, коли хижак знищує жертву пропорційне числу їх зустрічі, тобто x*y.

Популяція хижаків описується за правилами:

1. Фактор смерть залежить від старості k₃*y.

2. Зустріч із жертвою з імовірністю x*y приводить до зростання кількості хижаків.

Рівняння даного типу виведені в роботах Лотки та Вольтера (1925).

1) Дослідити модель, знайшовши залежності кількості зайців x та вовків y з часом, а також залежність кількості зайців від кількості вовків (фазову траєкторію). При цьому обрахунки провести з різними початковими значеннями.

2) Перевірити, що стаціонарною точкою буде , .

3) Перевірити, як залежить розв'язок від кроку диференціювання H (особливо фазова траєкторія).