Автоматичний вибір кроку інтегрування

Нехай r_n+1 – оцінка локальної похибки метода на кроці h, допущеної при знаходженні наближеного розв’язку в точці x_n+h і яка співпадає з значенням контрольного члена. Якщо оцінка переважає деяку наперед задану межу e: , то вважається, що значення розв’язку не задовольняє заданої точності і крок h оголошується неприйнятим. Отримана точка х_n + h і значення виключається з розгляду. Вибирається нове значення кроку і знову по тій же формулі Рунге-Кутта з кроком h⁽¹⁾ обраховується нове значення розв’язку в новій точці х_n + h ⁽¹⁾.

Нехай – оцінка локальної похибки методу на даному крокові h ⁽¹⁾. Якщо оцінка знову переважає задану межу e: , то точка x_n+h⁽¹⁾ і значення знову виключаються із розгляду, крок знову ділиться навпіл: і обрахунки повторюються. Так відбувається до тих пір, поки при якійсь величині кроку (позначимо її через h_n) оцінка локальної похибки не стане менше e: .

Після цього вважається, що розв’язок диференціального рівняння продовжено до точки х_n+1=x_n+h_n. Подальше інтегрування рівняння проводиться з точки x_n+1 з кроком h_n+1, який обирається описаним вище способом.

Якщо оцінка локальної похибки на кроці h_n=x_n+1–x_n задовольняє нерівність , де k – деяка константа, то вважається, що досягнута точність перевищує задану, і крок інтегрування подвоюється: . Якщо виконується нерівність , то вважається, що отриманий в точці x_n+1 розв’язок задовольняє задану точність і крок інтегрування залишається без змін h_n+1=h_n.

Константа k звичайно вважається рівною 2ⁿ, де n – порядок оцінки локальної похибки метода. Для методу Інгленда, який має порядок точності 5, k=2⁵=32.

Методи типу Рунге-Кутта переносяться також і на системи диференціальних рівнянь. Для систем рівнянь, рішення про ділення кроку навпіл приймається, якщо умова , j=1, 2, …, M (М – кількість рівнянь в системі) виконується хоча б для однієї компоненти, а рішення про подвоєння кроку приймається тоді, коли умова , j=1, 2, …, M виконується для усіх компонент.