Метод Сімпсона з оцінкою точності

Метод полягає в тому, що через кожні три послідовні точки будується парабола, яка апроксимує криволінійну трапецію y(x) (див. рис.2.7.). Площа під параболою визначається за формулою:

. (3.8)

Для досягнення більшої точності проміжок інтегрування розбивається на n=2m (де m непарне) інтервалів з кроком . Тоді інтеграл визначається формулою

, (3.9)

де R_n- похибка методу.

Рис.2.7.

Підінтегральну функцію замінюють поліномом 2 степеня, тобто параболою P(x), що проходить через 3 точки .

Інтерполяційна форма Ньютона для запису полінома має вигляд: (3.9)

,

де -розділені різниці, h-крок по x.

Введемо нову змінну Z=x-x₀, x=Z+x_0. Тоді

(3.10)

Обчислимо інтеграл від полінома

; (3.11)

; (3.12)

. (3.13)

Сумування дає

(3.14)

.

Процедура інтегрування за методом Сімпсона має вигляд: [функція simp].

Function f(x:Real):Real;

{Опис змінних}

Begin

F:=x*x;

End;

E:=0.001;

K:=M;

90: H:=(B-A)/(2*M); N:=0;

T:=A;

I:=f(T);

110: T:=T+H;

I:=I+4*f(T);

N:=N+1;

IF M=N Then Goto 140;

{T:=T+H};

I:=I+2*f(T): Goto 120;

140: T:=B;

I:=H*(I+f(T))/3;

IF M=K Then Goto 160 Else Goto 170;

160: U:=f(T);

M:=M+1; Goto 90;

170: R:=(I-U)/15;

IF ABS(R)>E Then Goto 160;

I:=I+R

End.

Похибка інтегрування

(3.15)

має 4 порядок. Для її визначення потрібно було б визначати четверті похідні в усіх точках, що потребує додаткової алгоритмізації. Але існує більш простіший спосіб оцінки точності. При цьому, після обрахунку значення інтегралу в mточках їх кількість подвоюється і інтеграл обчислюється ще раз. Оцінка точності обчислень обраховується за формулою .

Якщо , де e- точність обрахунку, то кількість точок подвоюється і алгоритм обрахунку повторюється.

Контрольний приклад: .