Метод Ньютона. Найбільш використовуваною реалізацією методу простих ітерацій є метод Ньютона, який дає максимальну збіжність

Найбільш використовуваною реалізацією методу простих ітерацій є метод Ньютона, який дає максимальну збіжність. При цьому умова збіжності приймає вигляд F´(x) = 0, а k=- . Тобто, ітераційна процедура має вигляд

x_k+1 = (2.1)

Тоді функція F(x) апроксимується дотичною до кривої в даній точці x (Рис.2.4): f(x_k)+(x-x_k)*f´(x_k), а наступне наближення x_k+1вибирається як точка перетину даної дотичної з віссю x.

При цьому, f(x_k)+(x_k+1 – x_k) f´(x_k) = 0, та виконується рівність (2.1)

Рис.2.4.

Метод Ньютона має глобальну збіжність, тобто збігається до точного розв'язку при будь яких початкових умовах, якщо f´(x)¹0, і друга похідна в кожній точці f´´(x) >0.

Крім того, метод Ньютона в околі точки x_kдає квадратичну збіжність, якщо тільки f´(x) ¹ 0. При цьому виконується умова | x_k - x_i+1| c |x_k - x_i|² тобто, якщо, наприклад, с=1 і |x_k - x_i | наближено рівне 10^-2, тоx_k-x_i+1 10^-4,тобто кількість вірних знаків при кожній ітерації подвоюється.

До недоліків метода Ньютона слід віднести необхідність обрахунку не тільки значень функції в кожній точці, а й значень першої похідної.