Сплайн-апроксимація

Сплайном називається визначена в певній області кусково-поліноміальна функція, тобто функція, яка складається з поліномів m–го степеня, де N - кількість інтервалів.

Для прикладу, розглянемо інтерполяцію функції за допомогою кубічних сплайнів. Нехай на відрізку [a,b] осі х задана сітка a=x₀< x₁<…< x_n=b, в вузлах якої задані значення функції . Сплайном буде функція, яка задовольняє таким вимогам:

1) g(x) неперервна разом з похідними до другого порядку включно;

2) на кожному відрізку [x_i,x_i+1] g(x) є кубічним поліномом , а більш детально (4.9)

де h_i =x_i+1-x_i - крок по х, m_i= (x). Для повної визначеності необхідно знати значення x_i, y_i, m_i;

3) в вузлах сітки виконуються рівності . Дана умова дозволяє з рівностей (4.6) отримати систему лінійних рівнянь для знаходження m_i:

(4.10)

Але дана система ще не повністю визначає m_i.

4) (x) задовольняє граничним умовам (а)= (b)=0. Тепер отримаємо замкнуту систему рівнянь для знаходження невідомих m_i. Якщо граничні умови задані у вигляді m₁…m_n =0 отримуємо силову функцію. При m_n=m₁ та m_n+1=m₂ періодичну і т.д.

Таким чином, задача побудови сплайн-поліномів зводиться до знаходження коефіцієнтів нормального кубічного полінома на кожному з відрізків інтерполяції. Далі можливе знаходження значень функції в будь-якій точці проміжку [a,b] – задача апроксимації, або за межами цього проміжку – задача екстраполяції. Так, якщо x<x_i, то екстраполяцію проводять за формулою

(4.11)

Аналогічно, для x<x_n: . При цьому, вважається, що нахил лінійної ділянки g(x) рівний похідній в крайній точці. Якщо сплайн-поліном будується на основі функції сумованих з квадратом других похідних, то ця інтерполяційна формула мінімізує функціонал: на цьому класі функцій. Функціонал можна інтерпретувати як аналог потенціальної енергії пружного стержня, закріпленого в точках площини (x_k,y_k), а на кубічних сплайнах реалізується мінімум цієї енергії.