![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Сплайном називається визначена в певній області кусково-поліноміальна функція, тобто функція, яка складається з поліномів m–го степеня, де N - кількість інтервалів.
Для прикладу, розглянемо інтерполяцію функції за допомогою кубічних сплайнів. Нехай на відрізку [a,b] осі х задана сітка a=x0< x1<…< xn=b, в вузлах якої задані значення функції . Сплайном буде функція, яка задовольняє таким вимогам:
1) g(x) неперервна разом з похідними до другого порядку включно;
2) на кожному відрізку [xi,xi+1] g(x) є кубічним поліномом , а більш детально
(4.9)
де hi =xi+1-xi - крок по х, mi= (x). Для повної визначеності необхідно знати значення xi, yi, mi;
3) в вузлах сітки виконуються рівності . Дана умова дозволяє з рівностей (4.6) отримати систему лінійних рівнянь для знаходження mi:
(4.10)
Але дана система ще не повністю визначає mi.
4) (x) задовольняє граничним умовам
(а)=
(b)=0. Тепер отримаємо замкнуту систему рівнянь для знаходження невідомих mi. Якщо граничні умови задані у вигляді m1…mn =0 отримуємо силову функцію. При mn=m1 та mn+1=m2 періодичну і т.д.
Таким чином, задача побудови сплайн-поліномів зводиться до знаходження коефіцієнтів нормального кубічного полінома на кожному з відрізків інтерполяції. Далі можливе знаходження значень функції в будь-якій точці проміжку [a,b] – задача апроксимації, або за межами цього проміжку – задача екстраполяції. Так, якщо x<xi, то екстраполяцію проводять за формулою
(4.11)
Аналогічно, для x<xn: . При цьому, вважається, що нахил лінійної ділянки g(x) рівний похідній в крайній точці. Якщо сплайн-поліном будується на основі функції сумованих з квадратом других похідних, то ця інтерполяційна формула мінімізує функціонал:
на цьому класі функцій. Функціонал
можна інтерпретувати як аналог потенціальної енергії пружного стержня, закріпленого в точках площини (xk,yk), а на кубічних сплайнах реалізується мінімум цієї енергії.
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 764 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!