Метод Гауса розв’язку системи лінійних рівнянь

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…a_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…a_2nx_n=b₂

...

a_n1x₁+a_n2x₂+…a_nnx_n=b_n

зводиться до перетворення вихідної матриці коефіцієнтів а_ij до трикутного вигляду.

Алгоритм:

1) За допомогою двох вкладених циклів по i=1,2,…,n та по j=1,2,…,n організуємо введення коефіцієнтів а_j та b_i, які утворюють масиви А[i,j] та B[i], де і-номер рядка, j-номер стовпчика.

2) Проводимо прямий хід виключення змінних шляхом перетворення коефіцієнтів по формулах: a_ji=-

a_jk=a_jk+a_jia_ik

b_j=b_j+a_jib_i, де i=1,2,…n-1;

j=i+1,i+2,…n;

k=i+1,i+2,…i+n,

де k-кількість подвійних циклів, необхідних для занулення коефіцієнтів нижче головної діагоналі. При таких перетвореннях на головній діагоналі отримуємо коефіцієнт рівний 1, а всі інші коефіцієнти в цьому рядку менше 1 по модулю. В кінці перетворень отримуємо x_n= .

3) Організуємо зворотній хід (знаходимо послідовно x_n-1,x_n-2,x_n-3,…,x₂,x₁) по формулах h=b_i i h=h-x_ja_jj де i=n-1,n-2,…,2,1;

j=i+1,i+2,…,n;

x_i= .

У результаті формується масив невідомих значень x_n,x_n-1,x_n-2,x_n-3,…,x₂,x_1.

4) Виводимо масив x_i на екран.

Тест: Þ

Приклад 1. Існує система n вантажів, кожний масою m, послідовно зв’язаних ниткою. При цьому n-1 вантаж знаходиться на горизонтальній площині. Система приводиться в рух вантажем, який висить вертикально і через блок з’єднаний з іншими. Визначити прискорення системи і силу натягу кожної з ниток, якщо коефіцієнт опору k (Рис.2.5.). Нехай n=4, m=1кг, k=0,01, g=10м/с², тоді система рівнянь має вигляд

Рис.2.5.