Метод трапецій

Одним з найпростіших методів є метод трапецій, коли криволінійна трапеція замінюється просто трапецією. Сусідні точки графіка з’єднуються відрізками (див.Рис.3.1.)

Рис.3.1.

Для збільшення точності відрізок [a,b] розбивається на велику кількість n інтервалів. При цьому загальна площа рівна сумі площ n трапецій з основою та визначається за виразом: , де останній доданок визначає похибку методу.

Оцінимо похибку R в виразі , для однієї трапеції. Обрахуємо її з розкладу в ряд Тейлора:

Звідси,

Інтеграл:

(3.1)

отримуємо також з розкладу в ряд Фур’є.

В вираз для інтегралу підставимо вираз для першої похідної:

. (3.2)

Таким чином, для одиничної трапеції похибка .

Якщо інтегрування проводиться шляхом розбиття відрізка [x_0,x_n] на декілька інтервалів, то загальна похибка рівна сумі частинних похибок (3.3)

Цей метод має низьку точність, але легко програмується. Наприклад, на Pascal.

Program TREPECIA;

Var X1,X2,N,Z:integer;

S,Y1:real;

Function Y(X:real):real;

Begin

Y:=1/200*EXP(-X/120)

End;

Begin

Write('Введіть ліву межу по Х');

Readln (x1);

Write('Введіть праву межу по Х');

Readln (x2);

Write(' Введіть кількість інтервалів по Х');

Readln (N);

S:=(X2-X1)/N;

For X:=X1+S to X2-S do

Begin

Z:=Z+Y(X);

End;

X:=X1; Y1:=Y(X);

X:=X2; Y2:=Y(X);

I:=((Y1+Y2)/2+Z)*S;

Write(' Значення інтегралу =', I);

End.

3.1.2. Магнітне поле витка

Задача: Знайти напруженість магнітного поля колового витка в будь-якій точці простору. Основний закон - закон Біо - Савара – Лапласа: , де - напруженість магнітного поля, i- струм, idl- елемент струму, r - відстань від точки спостереження A до елемента струму.

Рис.3.2.

Напрямок визначається за правилом правого гвинта. Загальна напруженість визначається інтегруванням, тобто підсумовуванням всіх вкладів від елементів струму, на які розбитий провідник.

При цьому можливі випадки:

1) Найпростіший випадок: напруженість в центрі колового струму.

2) Напруженість в будь-якій точці в площині витка.

3) Напруженість на осі витка.

4) Напруженість в будь-якій точці простору.

Розглянемо розрахунок напруженості в площині витка на відстані a від центру витка (див.Рис.3.3.).

Рис.3.3.

Для зручності знаходження загальної напруженості перейдемо до радіальної системи координат, зв'язаної з центром кола. Тоді

Підставимо Sта sinq в закон Біо - Савара – Лапласа: (3.4)

Таким чином, можливо визначити напруженість від будь-якого елементу колового струму в точці, віддаленій на відстань aвід центра кола, в залежності від кута f, під яким видно цей елемент колового струму з центра кола. З міркувань симетрії ясно, що вклад від верхнього півкола рівний вкладу від нижнього півкола. Тому інтегрування будемо проводити в межах для f від 0 до p. Враховуючи, що всі вклади мають один напрямок в т. A, отримуємо робочу формулу:

(3.5)

Відповідна програма має вигляд:

Program magna;

{опис змінних}

Procedure podpr (f, r, a, j: real; Var y: real);

Begin

y:=j*r*(r-a*cos(f))/(exp(1.5ln(sqr(r)+sqr(a)-2*r*a*cos(f))));

End;

Begin

J:=3;

R:=0.035;

A1:=-0.2;

A2:=0.2;

F1:=0;

F2:=pi;

Ntoch:=201;

Nint:=50;

Mnx:=1300;

Mny:=1;

For i:=1 to ntoch do

Begin

A:=a1+(a2-a1)*i/ntoch;

A:=0

F:=0;

Podpr(f, r1, a, j1,y);

Y1:=y;

F:=pi;

Podpr(f, r1, a, j1, y);

Y2:=y;

S:=(y1+y2)/2;

Df:=(f2-f1)/(nint+1);

For l:=1 to nint do

Begin

F:=f1+f5*l;

Podpr(f, r1, a, j1, y);

S:=s+y;

End;

H:=s*df/(2*pi);

Petl1(j1, r1, mnx, mny); {процедура побудови графічного зображення}

Putpixel (round(a*mnx)+320,-round(h*mny)+220,14);

End;

End.

Для перевірки правильності програми можливо використати слідуючи тестові завдання, які мають аналітичний розв’язок:

Тест 1. Поле в центрі колового струму (див Рис 3.4.). При цьому, а=0. Струм протікає по колу, радіусом R. В даному випадку sinq=1. i R – постійні величини. Аналітичний розрахунок напруженості дає:

(3.6)

Рис.3.4.

Тест 2. Поле на осі колового струму (див.Рис.3.5.).

Рис.3.5.

При цьому, (адже за рахунок кругової симетрії дає в сумі 0);

Використовуючи ; отримуємо .

Звідси слідує:

. (3.7)

Розрахунки на основі комп’ютерної програми інтегрування за законом Біо-Савара-Лапласа в даних частинних випадках повинні співпадати з тестовими значеннями.