![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Одним з найпростіших методів є метод трапецій, коли криволінійна трапеція замінюється просто трапецією. Сусідні точки графіка з’єднуються відрізками (див.Рис.3.1.)
Рис.3.1.
Для збільшення точності відрізок [a,b] розбивається на велику кількість n інтервалів. При цьому загальна площа рівна сумі площ n трапецій з основою та визначається за виразом:
, де останній доданок визначає похибку методу.
Оцінимо похибку R в виразі , для однієї трапеції. Обрахуємо її з розкладу в ряд Тейлора:
Звідси,
Інтеграл:
(3.1)
отримуємо також з розкладу в ряд Фур’є.
В вираз для інтегралу підставимо вираз для першої похідної:
. (3.2)
Таким чином, для одиничної трапеції похибка .
Якщо інтегрування проводиться шляхом розбиття відрізка [x0,xn] на декілька інтервалів, то загальна похибка рівна сумі частинних похибок (3.3)
Цей метод має низьку точність, але легко програмується. Наприклад, на Pascal.
Program TREPECIA;
Var X1,X2,N,Z:integer;
S,Y1:real;
Function Y(X:real):real;
Begin
Y:=1/200*EXP(-X/120)
End;
Begin
Write('Введіть ліву межу по Х');
Readln (x1);
Write('Введіть праву межу по Х');
Readln (x2);
Write(' Введіть кількість інтервалів по Х');
Readln (N);
S:=(X2-X1)/N;
For X:=X1+S to X2-S do
Begin
Z:=Z+Y(X);
End;
X:=X1; Y1:=Y(X);
X:=X2; Y2:=Y(X);
I:=((Y1+Y2)/2+Z)*S;
Write(' Значення інтегралу =', I);
End.
3.1.2. Магнітне поле витка
Задача: Знайти напруженість магнітного поля колового витка в будь-якій точці простору. Основний закон - закон Біо - Савара – Лапласа: , де
- напруженість магнітного поля, i- струм, idl- елемент струму, r - відстань від точки спостереження A до елемента струму.
Рис.3.2.
Напрямок визначається за правилом правого гвинта. Загальна напруженість визначається інтегруванням, тобто підсумовуванням всіх вкладів від елементів струму, на які розбитий провідник.
При цьому можливі випадки:
1) Найпростіший випадок: напруженість в центрі колового струму.
2) Напруженість в будь-якій точці в площині витка.
3) Напруженість на осі витка.
4) Напруженість в будь-якій точці простору.
Розглянемо розрахунок напруженості в площині витка на відстані a від центру витка (див.Рис.3.3.).
Рис.3.3.
Для зручності знаходження загальної напруженості перейдемо до радіальної системи координат, зв'язаної з центром кола. Тоді
Підставимо Sта sinq в закон Біо - Савара – Лапласа: (3.4)
Таким чином, можливо визначити напруженість від будь-якого елементу колового струму в точці, віддаленій на відстань aвід центра кола, в залежності від кута f, під яким видно цей елемент колового струму з центра кола. З міркувань симетрії ясно, що вклад від верхнього півкола рівний вкладу від нижнього півкола. Тому інтегрування будемо проводити в межах для f від 0 до p. Враховуючи, що всі вклади мають один напрямок в т. A, отримуємо робочу формулу:
(3.5)
Відповідна програма має вигляд:
Program magna;
{опис змінних}
Procedure podpr (f, r, a, j: real; Var y: real);
Begin
y:=j*r*(r-a*cos(f))/(exp(1.5ln(sqr(r)+sqr(a)-2*r*a*cos(f))));
End;
Begin
J:=3;
R:=0.035;
A1:=-0.2;
A2:=0.2;
F1:=0;
F2:=pi;
Ntoch:=201;
Nint:=50;
Mnx:=1300;
Mny:=1;
For i:=1 to ntoch do
Begin
A:=a1+(a2-a1)*i/ntoch;
A:=0
F:=0;
Podpr(f, r1, a, j1,y);
Y1:=y;
F:=pi;
Podpr(f, r1, a, j1, y);
Y2:=y;
S:=(y1+y2)/2;
Df:=(f2-f1)/(nint+1);
For l:=1 to nint do
Begin
F:=f1+f5*l;
Podpr(f, r1, a, j1, y);
S:=s+y;
End;
H:=s*df/(2*pi);
Petl1(j1, r1, mnx, mny); {процедура побудови графічного зображення}
Putpixel (round(a*mnx)+320,-round(h*mny)+220,14);
End;
End.
Для перевірки правильності програми можливо використати слідуючи тестові завдання, які мають аналітичний розв’язок:
Тест 1. Поле в центрі колового струму (див Рис 3.4.). При цьому, а=0. Струм протікає по колу, радіусом R. В даному випадку sinq=1. i R – постійні величини. Аналітичний розрахунок напруженості дає:
(3.6)
Рис.3.4.
Тест 2. Поле на осі колового струму (див.Рис.3.5.).
Рис.3.5.
При цьому, (адже за рахунок кругової симетрії
дає в сумі 0);
Використовуючи ; отримуємо
.
Звідси слідує:
. (3.7)
Розрахунки на основі комп’ютерної програми інтегрування за законом Біо-Савара-Лапласа в даних частинних випадках повинні співпадати з тестовими значеннями.
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 501 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!