![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Метод простих iтерацiй заснований на представленні рівняння f(x)=0 в вигляді х=F(x)i багаторазовому використанні iтерацiйної формули Х(n+1)=F(x(n)) до тих пiр, доки виконується умова |x n+1 – x n| E, де Е - задана похибка обчислення кореня x. Iтерацiйний процес збiгається (тобто x(n) прямує до розв'язку при n ®
), якщо виконується умова½F´(x)½<1приa<x<b.
Для розв’язування рівняння F(x) = x – SIN(x) - 0.25 = 0програма має вигляд
PROGRAM ITERACIA;
LABEL 1,2;
Uses CRT;
Var X, E:real;
{Ф У Н К Ц I Я}
Function F(X:real):real;
Begin
F:=SIN(X)+0.25;
End;
BEGIN
ClrScr;
WriteLn(Розв'язок рівнняня методом простих ітерацій ');
Writeln;
2:; Write('Введiть Х-початкове ');
Readln(x);
Writeln(Задайте похибку E ');
Readln(E);
F(X);
IF ABS(F-X)<E THEN GOTO 1;
X:=F; GOTO 2;
1:; Writeln('Корінь= ',X'); GOTO 2;
END.
Для розв'язання в ітераційних методах важливим є вибір початкового значення x0 та виконання умов збіжності ітераційної процедури до точного розв’язку xk. Iтераційний процес буде збіжним в методі простих ітерацій, якщо| , що графічно можна проілюструвати графіками:
Рис.2.1.а Рис 2.1.б
В першому випадку 0 < y'(x) < 1, тобто тангенс кута нахилу дотичної до осі x менший 450 і такий процес наближення до розв’язку називається одностороннім (Рис.2.1.а). В другому випадку - 1 < y'(x) < 0і процес є двостороннім (Рис.2.1.б).
Якщо ж y´(x) > 1, то процес розходиться при будь-яких початкових x0 (Рис.2.2.а,2.2.б).
Рис.2.2.а Рис2.2.б
Для двостороннього процесу при y'(x) < -1 процес також розходиться (Рис.2.3).
з
Рис.2.3.
Якщо досліджуване рівняння f(x)=0не містить змінної x в чистому вигляді, наприклад, f(x)=cos(x), то для використання методу простих ітерацій необхідно рівняння переписати в вигляді F(x) = k f(x)+ x = x, деk введемо так, щоб виконувалась умова | f´(x)| < 1. При цьому F´(x) = |kf´(x) + 1| < 1, і, значить,k підбирається таким чином, щоб .
Установимо критерій збіжності математично. Нехай xk=x*+ek; xk+1=x*+ek+1 де x*- корінь, e-відхилення.
Поблизу кореня функцію можливо представити двома членами ряду Тейлора. Тоді формула xk+1=F(xk) запишеться у вигляді x*+ek+1 F(x*)+ekF´(x*). Так як x*=F(x*), то ek+1=ekF´(x*). Для збіжності необхідно
, або F´(x*)<1.
Якщо k виберемо так, щоб –1<F´(x)<0, то збіжність двостороння і критерій виходу з ітераційної процедури .
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 311 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!