Похідна за напрямом

Градієнтом функції називають вектор . (7.8)

Градієнт вказує напрямок найбільшого зростання функції.

Похідна функції за напрямом вектора , в точці виражається формулою: , (7.9) де напрямні косинуси вектора , . (7.10)

Найбільше значення похідної за напрямом дорівнює модулю градієнта, знайденому у відповідній точці :

. (7.11)

Приклад 7.7.

Знайти градієнт і похідну за напрямом, який визначають градієнтом, функції в точці .

Розв’язання. За формулою (7.8) знайдемо градієнт заданої функції у визначеній точці:

В напрямку градієнта функція буде мати похідну: .

Похідна за напрямом, знайдена за всяким іншим напрямом, буде менше знайденого значення.

Контрольні питання зі змістового модуля III

6.1.	Дати означення похідної функції однієї змінної, диференційованості функції в точці та на інтервалі.
6.2.	Який геометричний зміст похідної?
6.3.	Який зв’язок між диференційованістю та неперервністю функції? Чи випливає з неперервності функції її диференційованість?
6.4.	Навести основні властивості похідної, зокрема формули добутку та частки функцій, похідної складної та оберненої функцій.
6.5.	Дати означення похідної вищих порядків.
6.6.	Навести формули похідних основних елементарних функцій.
6.7.	Як знайти похідну функції, що задана параметрично? Похідну функції, що задана неявно?
6.8.	Коли застосовують та у чому полягає логарифмічне диференціювання?
6.9.	Дати означення диференціала функції однієї змінної, навести зв’язок між похідною та диференціалом та його властивості.
6.10.	Який геометричний зміст диференціала?
6.11.	У чому полягає інваріантність форми диференціала першого порядку?
7.1.	Дати означення частинних похідних та навести їх геометричний зміст.
7.2.	Сформулювати теорему про змішані похідні.
7.3.	Дати означення диференційованості функції двох змінних.
7.4.	Навести ознаку диференційованості функції двох змінних.
7.5.	Як знайти повний диференціал функції двох змінних?
7.6.	Дати означення градієнта функції двох змінних.
7.7.	Як знайти похідну за напрямом функції двох змінних?
7.8.	Який вектор вказує напрямок найбільшого зростання функції? Яким є найбільше значення похідних у точці за напрямом?