Похідні функцій, заданих у параметричній, неявній формах, логарифмічне диференціювання

Розглянемо функцію, задану параметрично:

Нехай функції і диференційовані і , тоді похідна має вигляд:

. (6.2)

Приклад 6.5.

Знайти похідну функції, заданої параметрично .

Розв’язання. За формулою (6.2) маємо:

.

Нехай функцію задано неявно відношенням:

Для знаходження похідної потрібно продиференціювати , вважаючи функцією аргументу .

Приклад 6.6.

Знайти похідну функції , яку задано неявно відношенням

Розв’язання. Продиференціюємо рівняння, що задає функцію :

.

Винесемо за дужки:

,

Тоді похідна

.

Нехай функцію задано у вигляді для знаходження похідної доцільно провести попереднє логарифмування функції, а потім знайти похідну неявної функції:

,

,

.

Це формула логарифмічного диференціювання.

Приклад 6.7.

Знайти похідну функції .

Розв’язання. Прологарифмуємо рівність: та визначимо похідну неявної функції .

Тоді , тобто .

Зауваження.	Логарифмічне диференціювання застосовують, коли функція є добутком багатьох множників.
Приклад 6.8.	Знайти похідну функції .

Розв’язання. Знайдемо логарифм функції :

.

Визначимо похідну отриманої неявної функції:

Отже, .