Основні властивості похідної

1)	Сталий множник можна винести за знак похідної: .
2)	Похідна від алгебраїчної суми двох диференційованих функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідній цих функцій: .
3)	Похідну добутку двох диференційованих функцій обчислюють за формулою: .
4)	Похідна частки двох диференційованих функцій дорівнює , якщо .
5)	Похідна складної функції: Нехай – складна функція. Якщо має похідну в точці , а має похідну у відповідній точці , то складна функція має похідну в точці : .
6)	Похідна оберненої функції: Нехай для диференційованої функції існує обернена , яка теж є диференційованою функцією. Тоді їхні похідні пов’язані відношенням: .

Таблиця похідних основних елементарних функцій. Похідні вищих порядків

Таблиця похідних основних елементарних функцій:

1)	5)	9)
2)	6)	10)
3)	7)	11)
4) ,	8)	12)

Нехай функція диференційована на деякому проміжку. Похідну називають похідною першого порядку або першою похідною функції . Якщо перша похідна є диференційованою функцією на проміжку, то її похідну називають другою похідною або похідною другого порядку функції і позначають .

Аналогічно вводять поняття похідної п-го порядку:

,

де – натуральне число.

Отже, похідна від похідної – це похідна другого порядку . Похідну третього порядку позначають таким чином: і т.д.

Похідні порядку вище першого називають похідними вищих порядків.

Якщо – закон прямолінійного руху матеріальної точки, то ‑ це прискорення цієї точки в момент часу . В цьому полягає фізичний зміст другої похідної.

Приклад 6.2.

Знайти похідну функції .

Розв’язання. Диференціюємо спочатку тангенс, враховуючи, що роль проміжного аргументу виконує . Одержимо . Тепер подумки закреслимо значок «» і бачимо перед собою вираз . Диференціюємо корінь: і потім подумки закриваємо значок кореня. Залишається . Диференційований логарифм (проміжним аргументом є ): . Після викреслювання значка «» залишається , що при диференціюванні дає . Тепер похідна запишеться у вигляді добутку всіх проміжних результатів диференціювання:

Приклад 6.3.

Знайти похідну функції .

Розв’язання. Порядок уявного закреслювання наступний:

3 (куб), , , , .

Відповідним буде й порядок диференціювання:

.

Зауваження.

Слід запам’ятати, що на кожній стадії диференціюється тільки один вид функції.

Приклад 6.4.

Визначити похідну функції .

Розв’язання. За правилом диференціювання складної функції та за таблицею похідних маємо:

.