Частинні похідні та повний диференціал

Якщо існує скінченна границя , то її називають частинною похідноювід функції по її аргументу в точці і позначають .

Аналогічно вводимо частинний приріст функції по аргументу в точці :

.

Якщо існує скінчена границя , то її називають частинною похідною від функції по її аргументу в точці і позначають .

Правило обчислення частинних похідних: частинні похідні обчислюють за відомими правилами диференціювання функції однієї змінної; при обчисленні вважають постійною величиною; при обчисленні постійним слід вважати .

Приклад 7.1.

Знайти частинні похідні функцій: а) ; б) ; в) .

Розв’язання. а) , ;

б) , ;

в) , .

Геометричний зміст частинних похідних функції :

	Частинна похідна дорівнює тангенсу кута, який утворює дотична до кривої в точці з віссю .
	Частинна похідна дорівнює тангенсу кута, який утворює дотична до кривої з віссю .

Крива визначається як перетин поверхні площиною , а крива є перетином цієї поверхні площиною .

Розглянемо функцію змінних . Частинною похідною називають звичайну похідну по змінній від функції, яку отримують наданням всім іншим змінним сталих значень.

Приклад 7.2.

Визначити частинну похідну функції за змінною .

Розв’язання. .

Частинні похідні і називають частинними похідними першого порядку. Вони самі є функціями двох змінних і в свою чергу можуть мати частинні похідні. По відношенню до вихідної функції (7.1) похідні від похідних називають частинними похідними другого порядку. Їх позначають , . Похідні від частинних похідних другого порядку називають частинними похідними третього порядку.

Аналогічно визначають частинні похідні будь-якого порядку. Частинну похідну порядку вище першого по різним змінним називають змішаною.

Приклад 7.3.

Обчислити частинні похідні другого порядку функції .

Розв’язання. Визначимо спочатку частинні похідні першого порядку:

, .

Частинні похідні другого порядку мають вигляд:

, , , .

Порівнюючи змішані похідні, бачимо, що вони співпадають: . Цей факт не є випадковим.

Теорема 7.1.

(про змішані похідні) Нехай функція має неперервні змішані частинні похідні, тоді .

Справедливим також є наступний факт: дві неперервні частинні похідні одного порядку, що відрізняються лише порядком виконання операцій диференціювання, але не кількістю цих операцій для кожного з аргументів, будуть рівними між собою.

Таким чином, значення будь-якої змішаної частинної похідної елементарної функції не залежить від порядку диференціювання.

Наприклад,

.