|
| Якщо хоч би одна з трьох умов означення неперервності функції не виконується, то функцію  називають розривною в точці  , а точку називають точкою розриву.
|
Точки розриву бувають першого, другого роду та усувні.
|
| Точку розриву функції називають точкою розриву першого роду, якщо існують скінчені однобічні границі функції праворуч і ліворуч при  , що не дорівнюють одна одній, тобто
 .
|
|
| Точку розриву функції називають точкою усувного розриву, якщо границя функції при існує, але не дорівнює значенню функції в цій точці, тобто
 .
|
|
| Точку розриву функції називають точкою розриву другого роду, якщо хоч би одна з однобічних границь функції праворуч або ліворуч при дорівнює нескінченності або не існує.
|
У розглянутих в пункті 5.1 прикладах функції мають такі точки розриву. В прикладі 5.1 в точці 
маємо розрив другого роду. В прикладі 5.2 в точці 
‑ розрив першого роду. В прикладі 5.3 в точці маємо усувний розрив.
| Приклад 5.5.
| Дослідити на неперервність у точці функцію  .
|
Розв’язання. У точці функція не визначена, отже, вона не є неперервною в цій точці. Для з’ясування типу точки розриву знайдемо однобічні границі:
, 
.
Оскільки одна з однобічних границь нескінченна, то є точкою розриву другого роду.
| Зауваження.
| Якщо функція є неперервною всюди, окрім точки , де вона має усувний розрив, то функцію можна зробити неперервною, якщо довизначити її в точці . Функція  вже буде неперервною, тобто розрив в точці буде усунено.
|
Контрольні питання зі змістового модуля II
| 3.1.
| Дати означення функції, її області визначення та значень
|
| 3.2.
| Яка функція називається парною, непарною, періодичною?
|
| 3.3.
| Які функції називають монотонними?
|
| 3.4.
| Назвати основні елементарні функції.
|
| 3.5.
| Дати означення числової послідовності та її границі.
|
| 3.6.
| Сформулювати основні теореми про послідовності, що збігаються.
|
| 3.7.
| Дати означення нескінченно малої числової послідовності, навести приклади. Сформулювати властивості нескінченно малих послідовностей.
|
| 3.8.
| Дати означення нескінченно великої числової послідовності, навести приклади. Сформулювати властивості нескінченно великих послідовностей та їх зв’язок з нескінченно малими послідовностями.
|
| 3.9.
| Дати означення границі функції за Коші та за Гейне. Чи є вони еквівалентними?
|
| 3.10.
| Дати означення границь функції на нескінченності та нескінченних границь, а також односторонніх границь.
|
| 4.1.
| Що таке невизначеність. Навести приклади.
|
| 4.2.
| Назвати основні методи розкриття невизначеностей раціональних функцій.
|
| 4.3.
| Назвати основні методи розкриття невизначеностей тригонометричних функцій. Що таке перша визначна границя?
|
| 4.4.
| Що таке друга визначна границя? Для яких невизначеностей її застосовують?
|
| 4.5.
| Дати означення функцій вищого порядку мализни, нижчого порядку, одного порядку мализни, еквівалентних функцій.
|
| 4.6.
| Навести основні еквівалентності для нескінченно малого аргументу.
|
| 5.1.
| Дати означення функції, неперервної в точці та на відрізку. Навести властивості функцій, неперервних в точці та властивості функцій, неперервних на відрізку.
|
| 5.2.
| Що можна сказати про неперервність елементарних функцій?
|
| 5.3.
| Дати визначення точки розриву.
|
| 5.4.
| Назвати типи точок розриву. Навести приклади
|
|
| .
|
