Повний диференціал першого порядку

Повний приріст функції (7.1) має вигляд:

, (7.2)

де і – довільні прирости незалежних змінних.

Функцію називають диференційованою в точці , якщо виконуються умови: 1) в точці існують частинні похідні першого порядку і ; 2) повний приріст функції (3.1) в точці можна представити як ,(7.3) де і прямують до нуля при , тобто і є нескінченно малими при і , або що теж саме при , де – відстань між точками і .

З умови 1) існування частинних похідних не завжди випливає умова 2). Функція (7.1) може мати частинні похідні, але не бути диференційованою. Тут порушується аналогія з функцією однієї змінної, для якої наявність похідної забезпечує диференційованість функції.

Теорема 7.2.

(ознака диференційованості функції) Якщо в деякому околі точки функція має перші частинні похідні, які є неперервними в точці , то функція диференційована в цій точці.

Якщо функція (7.1)диференційована в точці , то її повним диференціалом першого порядку в цій точці називають величину, лінійну відносно і : . (7.4)

Нехай , тоді . Значить, , отже .

Нехай , тоді . Отже, , .

Тому повний диференціал функції двох змінних можна записати у вигляді:

. (7.5)

Приклад 7.4.

Знайти повний диференціал функції .

Розв’язання. Обчислимо спочатку частинні похідні першого порядку:

.

Частинні похідні є всюди неперервними функціями. Тому функція будевсюди диференційованою. Її повний диференціал має вигляд:

.