Умови взаємного розташування на площині точок і прямих

Умова перпендикулярності двох прямих:

	Якщо і - нормальні вектори перпендикулярних прямих і , то ці вектори ортогональні ;
	Якщо перпендикулярні прямі і задані своїми загальними рівняннями і , то .
	Якщо прямі і перпендикулярні, то .

Умова паралельності двох прямих:

	Якщо і - нормальні вектори паралельних прямих і , то ці вектори колінеарні: , тобто ;
	Якщо паралельні прямі і задані своїми загальними рівняннями і , то або .
	Якщо прямі і паралельні, то їх кутові коефіцієнти співпадають: .
	Якщо виконується відношення , то прямі і співпадають.

Відстань між двома точками і на площині визначається формулою:

. (2.23)

Відстань між точкою і прямою характеризується відношенням:

. (2.24)

Формули ділення відрізку у відношенні :

, . (2.25)

Приклад 2.9.

Обчислити відстань від точки до прямої і знайти рівняння прямої, що проходить через і є перпендикулярною до .

Розв’язання. Для прямої l₁ кутовий коефіцієнт . З умови перпендикулярності прямих одержимо . Згідно формули (2.17) рівняння прямої , що проходить через задану точку в заданому напрямку, що визначається кутовим коефіцієнтом , маємо . Тоді .

Відстань від точки до дорівнює: .

Приклад 2.10.

Точка розділяє відрізок : у відношенні . Через т. провести пряму, що складає кут 135° з віссю .

Розв’язання. За формулами (2.25) знайдемо координати точки :

.

Кутовий коефіцієнт прямої, що треба побудувати . Тоді за формулою (2.17) запишемо рівняння прямої, що проходить через задану точку у заданому напрямку :

, або .

Приклад 2.11.

За координатами вершин , , трикутниказнайти: а) рівняння лінії , б) рівняння висоти , в) довжину висоти .

Розв’язання. а) Знайдемо рівняння лінії, що проходить через точки і : , або , тобто . Таким чином, загальне рівняння : .

б) Запишемо спочатку рівняння з кутовим коефіцієнтом: . Таким чином, ‑ кутовий коефіцієнт прямої . Пряма , значить кутовий коефіцієнт прямої дорівнює . Користуючись рівнянням прямої (2.17), яка проходить через точку в заданому напрямку, маємо рівняння : , або , , .

в) Довжина висоти ‑ це відстань точки до прямої . Значить, за формулою (2.24)

(од.)

Контрольні питання зі змістового модуля I

1.1.	Дати означення матриці, її розмірності, нульової матриці, квадратної матриці, діагональної матриці, одиничної матриці.
1.2.	Як визначають головну і допоміжну діагоналі матриці?
1.3.	Назвати основні дії над матрицями та їх властивості.
1.4.	Яка умова узгодженості матриць?
1.5.	Для яких матриць і існує добуток , для яких - добуток , для яких існують обидва добутки і , для яких вони співпадають: ?
1.6.	Сформулювати правило знаходження добутку двох матриць.
1.7.	Чи повинні мати однакову розмірність матриці і для існування їх суми, різниці, добутку?
1.8.	Сформулювати правила обчислення визначника другого і третього порядку.
1.9.	Дати означення мінору та алгебраїчного доповнення.
1.10.	Сформулювати теорему Лапласа.
1.11.	Назвати основні властивості визначників та провести ілюстрацію їх доведення на прикладі визначника другого порядку.
1.12.	Які матриці називають виродженими?
1.13.	Описати правила визначення оберненої матриці.
1.14.	Дати означення рангу матриці.
1.15.	Дати означення системи лінійних алгебраїчних рівнянь та її розв’язку.
1.16.	Описати метод оберненої матриці та метод Крамера розв’язання систем лінійних рівнянь.
1.17.	Навести алгоритм методу Гаусса.
2.1.	Дати означення вектору, його координат, модуля вектору, проекції вектора на вісь.
2.2.	Які операції можна виконувати над векторами?
2.3.	Сформулювати означення скалярного добутку двох векторів та його властивостей.
2.4.	Сформулювати умову ортогональності двох векторів.
2.5.	Сформулювати означення векторного добутку двох векторів та його властивостей.
2.6.	Сформулювати умову колінеарності двох векторів.
2.7.	Дати означення мішаного добутку трьох векторів, його властивостей та геометричного змісту.
2.8.	Сформулювати умову компланарності трьох векторів.
2.9.	Що таке пряма лінія на площині? Навести загальне рівняння прямої на площині. Який вектор називають нормальним вектором прямої?
2.10.	Який геометричний зміст мають коефіцієнти та рівняння прямої ?
2.11.	Навести рівняння прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямку.
2.12.	Навести рівняння прямої у відрізках на осях та рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.
2.13.	Як знайти кут між двома прямими на площині? Навести формули.
2.14.	Навести умови перпендикулярності двох прямих на площині.
2.15.	Навести умови паралельності двох прямих на площині.
2.16.	Як знайти відстань між двома точками та між точкою та прямою на площині? Навести формули.