Основні властивості мішаного добутку векторів

1)	;
2)	мішаний добуток трьох ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вони компланарні;
3)	модуль мішаного добутку дорівнює об’єму паралелепіпеда, що побудовано на даних векторах;

Рисунок 2.11 - Паралелепіпед, що побудовано на векторах , і .

Зауваження

Об’єм піраміди, яку побудовано на векторах , і , дорівнює модулю змішаного добутку цих векторів, що поділено на 6.

Приклад 2.6.

Довести, що точки , , і лежать в одній площині.

Розв’язання. Знайдемо координати векторів, що виходять з точки : , , .

Доведемо, що ці вектори є компланарними, тобто належать одній площині. Для цього обчислимо мішаний добуток одержаних векторів:

.

Згідно другої властивості мішаного добутку вектори , і є компланарними, отже точки , , і лежать в одній площині.

Приклад 2.7.

Знайти об’єм піраміди і довжину висоти , яку опущено на грань , якщо вершини , , і мають наступні координати: , , , .

Розв’язання. Знайдемо координати векторів, що виходять з вершини : , , .

Рисунок 2.12 - Піраміда, що побудована на векторах , , .

Обчислимо мішаний добуток одержаних векторів: . Отже, об’єм піраміди :

.

Для знаходження висоти обчислимо спочатку площу грані , як модуля векторного добутку векторів і :

,

.

Отже, площа трикутника дорівнює . Тоді з відомої формули маємо , звідки одержимо .