Длина кривой на поверхности

Пусть дана гладкая поверхность, заданная векторным уравнением . Рассмотрим гладкую кривую С на поверхности, заданную внутренними уравнениями , где . Нас интересует длина кривой С. В пространстве кривая С задана векторным уравнением , где . Теперь длину можно найти по известной формуле . Вычислим длину вектора , .

Далее получаем, для краткости опускаем .

Введем обозначения. Положим

.

Тогда формула для квадрата длины вектора примет вид

.

Наконец, подставляя корень из этого выражения в формулу длины, получаем:

.

Имея в виду внутренние уравнения кривой С и опуская для краткости аргументы у функций эту формулу часто записывают так

.