Кривизна кривой поверхности. Вторая квадратичная форма

Пусть - гладкая поверхность, параметризованная вектор-функцией , а С – гладкая кривая этой поверхности, заданная своими внутренними уравнениями , которые соответствует ее параметризация . Пусть - точка на кривой С. Найдем формулу для кривизны кривой С в точке Р. Обозначим через угол между нормалью поверхности в точке Р и главной нормалью кривой С в точке Р.

Рассмотрим естественную параметризацию кривой С. Пусть она соответствует внутренним уравнениям , и пусть при этом . Кривизна кривой С в точке Р вычисляется по формуле . Чтобы найти , продифференцируем выражение для : .

Проделав несложные вычисления, получим

.

При скалярном умножении на вектор последние два слагаемых дадут нуль, так как первые производные вектор-функции ортогональны вектору .

Для скалярных произведений на вектор вторых производных вектор-функции приняты специальные обозначения:

Или, короче, .

Пользуясь этими обозначениями, можно записать

.

Более краткая запись:

.

Вернемся к исходной параметризации . Поскольку то .

Подставляя в предыдущую формулу, получим

.

Функции называются коэффициентами второй квадратичной формы, а сама вторая квадратичная форма определяется формулой .

Теперь полученное выражение для кривизны кривой С в точке Р принимает вид

.