Угол между кривыми на поверхности

Пусть - две кривые на поверхности, заданные своими внутренними уравнениями

.

Если проходят через одну и туже точку на поверхности, то при помощи коэффициентов можно найти угол между этими кривыми в точке Р. Если , то

, где, как и раньше, - касательные векторы к кривым . Положим для краткости

.

Тогда скалярное произведение в числителе рассматриваемой дроби можно найти по формуле

.

Длины векторов находят по формулам

.

Выясним теперь геометрический смысл коэффициентов первой квадратичной формы. представляют собой квадраты масштабов координатных линий – длины малых дуг координатных линий примерно в раз больше соответствующих дуг в области . Геометрический смысл коэффициента сложнее: , где - угол между координатными линиями. Отсюда . В частности, чтобы координатные линии в каждой точке были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы .

Выясним геометрический смысл выражения

, которое понадобится нам в дальнейшем:

.

Таким образом, число равняется площади параллелограмма, натянутого на векторы частных производных .