Кривая на гладкой поверхности

Пусть – гладкая поверхность, заданная уравнением , где - ее регулярная параметризация. Пусть - уравнения некоторой параметризованной кривой в области V. На поверхности кривой соответствует кривая которая в пространстве задается векторным уравнением , где

Теорема. Если кривая гладкая, то и кривая С тоже будет гладкой.

Параметрическое уравнение кривой в области V называются внутренними уравнениями кривой С на поверхности Ф.

Особый интерес представляют кривые, которые являются образами отрезков в области V, параллельных осям координат. Они задаются внутренними уравнениями вида

и называются координатными линиями на параметризованной поверхности Ф. Мы теперь можем дать геометрическое истолкование векторов частных производных функций . Векторы - касательные к координатным линиям в точке . Поскольку поверхность гладкая, а - ее регулярная параметризация, то векторы неколлинеарные, и угол между ними равен углу между координатными линиями в точке Р.