![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
С каждой гладкой кривой, кривизна которой во всех точках отлична от нуля, мы связали функции: которые могут быть найдены по произвольной параметризации
этой кривой. Спрашивается: определяют ли эти функции полностью кривую и нет ли между ними каких-либо соотношений?
Мы можем наложить на них только тривиальные ограничения. Функции эти непрерывны, кроме того, при любом
Легко видеть, что от трех функций можно перейти к двум, взяв за параметр длину дуги s. Тогда
будут функциями, связанными непосредственно с кривой (и направлением на ней). Нам остается узнать, определяют ли они кривую однозначно и нет ли между ними каких –либо соотношений.
Теорема. Пусть - две гладкие кривые, имеющие одинаковую длину, и
-их естественные параметризации. Если в соответствующих точках эти кривые имеют одинаковые кривизну и кручение:
, то существует наложение, переводящее кривую
в кривую
.
Другими словами, кривизна и кручение определяют кривую с точностью до положения в пространстве.
Можно показать, что между кривизной и кручением нет нетривиальных соотношений. Более точно, для любых непрерывных функций , определенных на отрезке
, первая из которых положительна, существует гладкая кривая С, кривизна и кручение которой определяются этими функциями:
Соотношения называются натуральными уравнениями кривой С. Их достоинство заключается в том, что они никак не зависят от выбора координат.
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 984 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!