Естественная параметризация

Длину дуги можно использовать для введения одной очень удобной параметризации кривой С.

Зададим на промежутке функцию по формуле

Ясно, что равняется длине дуги с началом в и концом . Функция - гладкая:

очевидно . Она монотонно возрастает (поскольку ее производная положительна) и отображает отрезок в отрезок .

Рассмотрим обратную функцию и параметризацию кривой С, получающуюся из параметризации при замене параметра

Такая параметризация называется естественной параметризацией кривой С. (Другие названия: натуральная или параметризация длиной дуги.) Параметром в этой параметризации служит s – длина отрезка кривой. Это и есть так называемый естественный параметр.

Важное свойство естественной параметризации состоит в том, что касательный вектор при такой параметризации имеет единичную длину .

Действительно, поскольку

В дальнейшем мы будем обозначать вектор через и называется его единичным вектором касательной.