Вычисление кручения

Пусть по-прежнему - естественная параметризация гладкой кривой С, имеющей в каждой точке ненулевую кривизну.

Для вычисления кручения кривой С воспользуемся формулами Френе:

Рассмотрим теперь смешанное произведение Так как мешанное произведение не изменится, если прибавить к одному сомножителю или вычесть из него линейную комбинацию двух других, то

Окончательно получаем

В этой формуле являются функциями параметра s.

Мы нашли короткую формулу для вычисления кручения кривой, но ею можно пользоваться, только если кривая снабжена естественной параметризацией, а это бывает на практике крайне редко. Выведем формулу для кручения при произвольной параметризации. Пусть - произвольная, а - естественная параметризация кривой С, связанные заменой параметра . Тогда непосредственным вычислением убеждаемся в том, что

Отсюда следует, что при этом Пользуясь этим и тем, что из формулы для кручения в естественной параметризации получаем окончательно Это формула для вычисления кручения в произвольной параметризации.