Кручение кривой. Формулы Френе

Пусть С – гладкая кривая, а - ее естественная параметризация. Будем предполагать, что во всех точках кривая С имеет ненулевую кривизну. В частности, в любой ее точке определены соприкасающаяся плоскость и вектор бинормали

Рассмотрим вектор первой производной от функции Он ортогонален вектору

поскольку

Следовательно, вектор - число называется кручением кривой С в точке Р. Выписанное равенство носит название «третьей формулы Френе». Абсолютным кручением в точке Р называется абсолютная величина вектора

Кручение характеризует отличие пространственной кривой от плоской, поскольку, очевидно, кручение плоской кривой в каждой точке равна нулю. Нетрудно видеть, что если кручение кривой в каждой точке равно нулю, то эта кривая лежит в некоторой плоскости.

Абсолютное кручение можно определить более геометрически.

Если Q – близкая к Р точка кривой С, а - угол Между соприкасающимися плоскостями кривой С в точках Р и Q, то при стремлении точки Q к точке Р отношение угла к расстоянию между Q и Р стремится к определенному пределу, который и равен абсолютному кручению кривой С в точке Р:

Полученные нами ранее выражения для производных по естественному параметру вектор-функции представляют собой две из трех формул Френе. Эти формулы дают разложение по базису Френе производных от входящих в него векторов.

Первая и третья формулы нам уже известны. Вторая формула из них следует:

Иногда, имея в виду уравнение кривой к числу формул Френе относят и формулу .