Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности

Постараемся повысить точность квадратурной формулы, используя неравномерное расположение узлов. Поставим задачу: построить квадратурную формулу

, (12.29)

которая при заданном n была бы точна для многочлена возможно большей степени. Такие формулы называют квадратурными формулами наивысшей алгебраической степени точности или формулами Гаусса.

Как обычно, обозначает весовую функцию, и – непрерывная функция. Для удобства нумеруем узлы от 1 до n. Потребуем, чтобы формула (1) была точна для любого алгебраического многочлена степени m. Это эквивалентно требованию, чтобы формула была точной для функций: Получаем условия:

(12.30)

Условия (12.30) представляют собой нелинейную систему из m+1 уравнений относительно неизвестных: Число уравнений равно числу неизвестных, если . Это число определяет наивысшую степень многочлена, для которого формула (12.29) является точной.

Выпишем отдельно уравнение для :

(12.31)

Уравнение (12.31) можно рассматривать как уравнение нормировки коэффициентов квадратурной формулы (12.29).

Рассмотрим примеры. Построим формулы Гаусса для разного числа узлов. Пусть имеем единичную весовую функцию (иначе говоря, весовая функция отсутствует) и стандартный, симметричный относительно начала координат, отрезок интегрирования

Пример 12. 11. n=1.

Получаем: Приходим к формуле прямоугольников: Формула прямоугольников точна для любого многочлена первой степени.

Пример 12.12.n=2.

В данном случае m=3 и система (12.30) включает четыре уравнения:

Решаем систему. Во втором и в четвертом уравнениях перенесем второе слагаемое в правую часть и поделим четвертое уравнение на первое. Получим: , или – узлы расположены симметрично. Учитывая симметрию, получаем из второго уравнения: . Из первого уравнения следует, что Наконец из третьего уравнения находим: . Получаем квадратурную формулу

, (12.32)

точную для многочленов до третьей степени включительно. Обратим внимание, что из второго и четвертого уравнений (включающих нечетные степени x) следует только симметрия квадратурной формулы. Численные значения узлов и коэффициентов определяются из первого и третьего уравнений.

Интересен геометрический смысл полученной формулы. Через две заданные точки: – можно провести бесчисленное множество кривых третьего порядка . Как следует из найденной квадратурной формулы, площади, заключенные между осью x и любой из этих кривых, и ограниченные вертикальными линиями , одинаковы и равны .

Формула (12.32) может быть получена также из геометрических соображений. Ненулевой вклад в интеграл вносят лишь четные функции: и . Интеграл в симметричных пределах от нечетных функций равен нулю. Чтобы квадратурная формула правильно учитывала нулевой вклад в интеграл нечетных функций , достаточно, чтобы формула была симметричной: узлы должны быть расположены симметрично , а весовые коэффициенты должны быть равны .

Опишем теперь площадь под кривой . Из соображений симметрии достаточно рассмотреть отрезок . Разместим узел таким образом, чтобы выполнялось равенство:

–

т.е. чтобы значение параболы в точке численно равнялось половине площади под кривой (коэффициент не играет роли). Отсюда . Значение параболы в симметричном узле даст вторую половину площади. Ясно, что те же самые отсчеты описывают также значение площади, ограниченной линией постоянной высоты . Приходим, таким образом вновь к формуле (12.32).

Проиллюстрируем эти рассуждения. Введем функцию , равную 1 в узлах независимо от значения параметра a. Соответственно, площадь под кривой на отрезке равна 2. Графики функции для двух значений параметра a показаны на рис.12.7а. На рис.12.7б показана функция , суммированная с нечетными функциями и . Как видно из значений интегралов, площадь под всеми четырьмя кривыми (с учетом знака) – одна и та же. Рисунки представляют собой активную вставку, созданную в среде Mathcad.

Пример 12.13. По формуле Гаусса с двумя узлами вычислим интеграл

и сравним найденное значение с точным. Точное значение интеграла легко вычисляется. После замены переменной имеем:

.

По формуле Гаусса . Поскольку формула Гаусса с двумя узлами точна для любого многочлена степени m =3, получаем точное значение.

Пример 12.14. Используя формулу Гаусса с двумя узлами, вычислим интеграл

.

Точное значение интеграла равно .

Чтобы применить формулу Гаусса, преобразуем отрезок интегрирования к стандартному отрезку . Полагаем:

.

Вновь получаем, что формула Гаусса дает точное значение интеграла:

.

Пример 12.15. Построим формулу Гаусса с тремя узлами.

Пусть по-прежнему Чтобы избежать необходимости решения системы из шести уравнений, используем геометрические соображения. Формула с тремя узлами точна для многочлена степени . Поскольку интеграл от x в нечетной степени равен нулю, достаточно построить квадратурную формулу, точную для функций . Эти функции показаны на рис. 12.8. Из соображений симметрии заключаем, что два узла должны быть расположены симметрично, и один узел должен находиться в центре: Для описания функций достаточно рассмотреть половину отрезка интегрирования . Отсчет в точке должен полностью описывать площадь под кривыми . Получаем уравнения для нахождения :

Поделив второе уравнение на первое, находим , или . С учетом найденного значения из первого уравнения получаем . Отсчет в точке необходим для описания площади, ограниченной линией . Из условия нормировки

находим .

Пример 12.16. Вычислим интеграл , используя формулу Гаусса с двумя и тремя узлами. Точное значение интеграла легко вычисляется: . Чтобы привести отрезок интегрирования к стандартному отрезку [-1,1], заменим переменную интегрирования:

По формуле Гаусса с двумя узлами () получаем:

, и погрешность равна .

Аналогично вычисляем по формуле Гаусса с тремя узлами:

, и погрешность равна 0.0014.

Сравним полученные результаты с результатами расчетов по формуле Симпсона с тремя узлами:

, погрешность равна 0.094.

Видим, что погрешность формулы Гаусса с тем же количеством узлов примерно в 70 раз меньше.