Симметричные квадратурные формулы

Рассмотрим квадратурную формулу

. (12.22)

Пусть выполнены три условия.

1. – функция, четная относительно середины отрезка , т.е.

.

Обозначив , перепишем это равенство иначе

. (12.23)

2. Узлы расположены симметрично относительно середины отрезка:

, (12.24)

m – целая часть . Если количество узлов – нечетно (n – четно), то .

3. Коэффициенты C – попарно равны:

. (12.25)

Квадратурная формула называется симметричной, если выполнены все три условия: весовая функция четна, узлы расположены симметрично и коэффициенты попарно равны.

Для симметричной квадратурной формулы интерполяционного типа третье свойство – попарное равенство коэффициентов – вытекает из первых двух. Докажем это.

.

Произведем замену переменной :

.

Заменим теперь индекс суммирования :

,

что и требовалось доказать.

Наличие симметрии повышает точность квадратурных формул.

Теорема. Симметричная квадратурная формула интерполяционного типа с нечетным числом узлов точна для любого многочлена степени .

Доказательство. Произвольный многочлен степени представим в виде

,

где – многочлен степени n. Используя формулу бинома Ньютона, запишем:

.

В последнем выражении два последних слагаемых являются многочленами степени n. Ранее уже было доказано, что квадратурная формула интерполяционного типа, построенная на узлах точна для таких многочленов. Поэтому достаточно доказать утверждение теоремы для многочлена

.

Вследствие нечетности функции относительно середины отрезка

.

Следовательно, для доказательства теоремы нужно показать, что

.

Преобразуем

.

Обозначив в этом выражении суммы буквами , преобразуем вторую сумму. Заменим индекс суммирования: .

(вследствие симметрии квадратурной формулы).

Таким образом, и , что и требовалось доказать.

Пример 12.8. Формула Симпсона, имеющая три узла, точна для любого многочлена третьей степени. На активной вставке рис. 12.5 в верхней строчке приведено аналитическое значение интеграла в симметричных пределах от произвольного многочлена третьей степени . Знак “ ” означает в системе Mathcad применение символических преобразований. Коэффициенты a и c отсутствуют в решении, поскольку интегралы от нечетных функций в симметричных пределах равны нулю.

Во второй строчке показано вычисление того же интеграла с помощью формулы Симпсона. Видим, что формула Симпсона дает точный результат.