Связь формул Гаусса с системами ортогональных многочленов

Из условия ортогональности (12.34) следует, что многочлены , описывающие узлы формулы Гаусса с различным количеством узлов, образуют ортогональную систему:

при ,

Для многих весовых функций известны соответствующие ортогональные системы многочленов и формулы, позволяющие непосредственно вычислять положение узлов и коэффициенты формулы Гаусса.

Рассмотрим примеры весовых функций.

1. r(x) º 1, a = -1, b = 1.

Ортогональными многочленами с единичным весом на отрезке [-1,1] являются многочлены Лежандра:

.

Многочлены Лежандра удовлетворяют дифференциальному уравнению

.

Первые три многочлена Лежандра имеют вид:

.

Многочлены Лежандра четной степени являются четными функциями; многочлены нечетной степени – нечетные функции. L_n(1)=1; L_n(-1)=1, если n – четное число, и L_n(-1)=-1, если n – нечетно.

Для многочленов Лежандра существует рекуррентная формула:

.

Узлы и коэффициенты формулы Гаусса с n узлами связаны соотношением:

.

В пакете Mathematica встроенные многочлены Лежандра обозначаются LegendreP[n,x], в пакете Mathcad – Leg(n,x). На рис. 12.13 приведен пример расчета узлов и коэффициентов формулы Гаусса в среде Mathcad. Расчет проведен с использованием встроенных многочленов Лежандра. Корни многочлена вычисляются с помощью функции root(Leg(n,x), x). Для поиска корней предварительно в массиве y_0,..,n задаются n начальных значений, уточняемых в ходе вычислений. Вычисленные корни записываются как значения функции A(y_k). Значения функции A(y_k) используются для подсчета коэффициентов C_k. На рис. 12.13 показаны результаты подсчета для формулы с пятью узлами. Активизировав рисунок двойным щелчком мыши, можно провести расчет для другого количества узлов.

2. , a = -1, b = 1. Ортогональными многочленами с такой весовой функцией являются многочлены Чебышева первого рода

. (12.43)

Отметим, что многочленами Чебышева называют также многочлены .

Докажем ортогональность многочленов Чебышева. Для этого вычислим интеграл

.

После замены переменной: – получим

Поскольку T­₀(x)=1, имеем также

при n>1. (12.44)

Из формулы (12.43) легко определяются корни многочленов:

.

Для многочленов Чебышева справедливо рекуррентное соотношение

.

Первые пять многочленов Чебышева имеют вид:

Эти многочлены показаны на рис. 12.14. Все многочлены четной степени являются четными функциями, многочлены нечетной степени – нечетными. Максимальное отклонение от оси x на отрезке [-1,1] для многочленов равно 1.

Многочлены Чебышева первого рода являются решениями дифференциального уравнения

.

Учитывая, что производная многочлена равна

,

многочлен Чебышева можно найти как решение данного уравнения с начальными условиями:

.

Формулы Гаусса с данной весовой функцией называют также формулами Эрмита. Формула Эрмита имеет вид:

, (12.45)

где узлы x_k являются корнями многочлена Чебышева и все весовые коэффициенты одинаковы:

.

Докажем формулу (12.45), т.е. докажем, что эта формула точна для любого многочлена степени меньше 2n. Докажем вначале, что формула Эрмита точна для многочленов Чебышева степени m<2n:

Для многочлена нулевой степени точное значение интеграла равно

.

Такое же значение получаем по формуле Эрмита с n узлами:

.

В соответствии с формулой (12.44) при 0<m<2n. Убедимся, что по формуле Эрмита также получим нулевое значение интеграла.

.

По формуле Эйлера можно записать

.

Во второй сумме заменим индекс суммирования: или ; вторая сумма примет вид:

.

Заменив в этой сумме индекс i на индекс k, объединим обе суммы:

.

По формуле суммы членов геометрической прогрессии найдем:

.

Таким образом, формула Эрмита точна для многочленов Чебышева степени m<2n, но поскольку любой многочлен степени <2n может быть представлен суммой многочленов Чебышева степени <2n, то формула Эрмита точна для произвольного многочлена степени <2n, что и требовалось доказать.

В пакете Mathematica многочлены Чебышева первого рода обозначаются ChebyshevT[n,x], в пакете Mathcad – Tcheb(n,x).

3. , a = -1, b = 1. Узлы квадратурной формулы Гаусса совпадают с корнями многочленов Чебышева второго рода:

.

Узлы многочленов расположены в точках

.

Первые пять многочленов имеют вид:

.

Для многочленов Чебышева второго рода справедливо такое же рекуррентное соотношение, как и для многочленов первого рода

.

Для данной весовой функции условие нормировки коэффициентов формулы Гаусса имеет вид:

.

Многочлены второго рода в пакете Mathematica обозначаются ChebyshevU[n,x], в пакете Mathcad – Ucheb(n,x).

4. , a = –¥, b = ¥. Семейство многочленов, ортогональных с данным весом на всей оси x, составляют многочлены Чебышева-Эрмита:

.

Обозначения многочленов Чебышева-Эрмита:

в пакете Mathematica –HermiteH[n,x], в пакете Mathcad – Her(n,x).

Первые пять многочленов имеют вид:

.

Для многочленов Чебышева-Эрмита справедлива рекуррентная формула:

.

Многочлены удовлетворяют уравнению

.

Весовые коэффициенты могут быть вычислены по формулам:

(12.46)

На рис.12.15 показан расчет узлов и коэффициентов формулы Гаусса с весовой функцией в среде Mathcad. Для нахождения корней многочлена Чебышева-Эрмита используется встроенная функция root; коэффициенты формулы вычисляются по второй из формул (12.46).

Аналогичные расчеты легко провести в пакете Mathematica. Функция H[n_] дает список корней многочлена степени n:

H[n_]:=Table[Roots[HermiteH[n,x]Š0,x][[k,2]], {k,n}]

Для вычислений используется встроенная функция Roots.

Функция CH[n_] дает список коэффициентов формулы Гаусса:

Коэффициенты вычисляются по формуле (12.35):

.

Для формулы с двумя узлами вычисленные значения узлов и коэффициентов равны

.

Для формулы с тремя узлами имеем:

.

Функция вычисляет по формуле Гаусса значение интеграла

. (12.47)

Пример 12.24. Точное значение интеграла (12.47) для функции равно . Такое же значение дает формула Гаусса с двумя узлами в полном согласии с тем фактом, что данная квадратурная формула точна для многочлена третьей степени.

5. . Ортогональными многочленами с такой весовой функцией на положительной полуоси являются обобщенные многочлены Лагерра:

.

Если , то многочлены называют просто многочленами Лагерра: .

Первые три обобщенных многочлена имеют вид:

.

Для многочленов Лагерра справедливо рекуррентное соотношение

.

Многочлены Лагерра удовлетворяют дифференциальному уравнению

.

Производная обобщенного многочлена Лагерра равна

.

Весовые коэффициенты могут быть вычислены по формулам:

, (12.48)

где – гамма-функция.

В пакете Mathematica многочлены Лагерра обозначаются LaguerreL[n,x], обобщенные многочлены обозначаются LaguerreL[n,a,x]. В пакете Mathcad встроенными являются только простые многочлены Лагерра: Lag(n,x).

Пример 12.25. С помощью средств пакета Mathematica построим формулу Гаусса для вычисления интегралов вида

, где f(x) – непрерывная функция.

Запустим программу Mathematica и введем функцию, дающую список узлов формулы Гаусса – список корней обобщенного многочлена Лагерра:

L[n_,a_]:=Table[Roots[LaguerreL[n, a, x]==0, x][[k, 2]], {k, n}]

Например, L[2, -1/2] дает список: .

С помощью второй из формул (12.48) найдем коэффициенты формулы Гаусса:

LC[n_,a_]:=Table[Gamma[n] Gamma[a+n] L[n,a][[k]] /

(((n-1)!)^2 n (a+n) (LaguerreL[n-1,a, L[n,a][[k]]])^2), {k,n}]

В случае n=2, a=-1/2 эта команда выдает список: .

Используя введенные функции, запишем формулу Гаусса:

HL[n_, a_, f_]:= LC[n, a][[k]] f[L[n, a][[k]] ]

Проверим построенную формулу на примере вычисления интеграла

Для этого интеграла значение, подсчитанное по формуле Гаусса c двумя узлами, совпадает с точным значением: .

6. Ортогональными с весом на отрезке [-1,1] являются многочлены Якоби:

.

Первые два многочлена Якоби:

.

Если , многочлены Якоби пропорциональны многочленам Чебышева.

Многочлены Якоби удовлетворяют уравнению:

.

В пакете Mathematica встроенные многочлены Якоби обозначаются JacobiP[n,a,b,x], в пакете Mathcad – Jac(n,a,b,x).

Пример 12.26. Используя средства пакета Mathematica, построим формулу Гаусса для вычисления интеграла

с весовой функцией . (12.49)

Узлы формулы Гаусса расположены в нулях многочлена Якоби. Введем функцию, для нахождения списка корней многочлена:

JR[n_,a_,b_]:=Table[Roots[JacobiP[n,a,b,x]==0,x][[k,2]], {k,n}] (12.50)

Например, .

Введем функцию для вычисления списка коэффициентов формулы Гаусса:

JC[n_,a_,b_]:=Table[ (1-x)^a (1+x)^b

( If[iŠk, 1, (x-JR[n,a,b][[i]]) / (JR[n,a,b][[k]]-JR[n,a,b][[i]])]) dx, {k,n} ] (12.51)

Например,

Запишем формулу Гаусса с n узлами для вычисления интеграла (12.49):

HJ[n_,a_,b_,f_]:= JC[n,a,b][[k]] f[JR[n,a,b][[k]]] (12.52)

Например, для интеграла , где формула (12.52) с тремя узлами HJ[3,-1/2,-1/2,f] дает точное значение .

Пример 12.27. Используя средства пакета Mathematica, построим формулу Гаусса для вычисления интеграла вида

(12.53)

После замены переменной x=(t+1)/2 получим

.

Для вычисления этого интеграла можно применить формулу Гаусса, узлы которой расположены в нулях многочлена J(n,0,-1/2,x). Воспользовавшись введенными выше функциями (12.50) и (12.51), запишем формулу Гаусса для вычисления интеграла (12.53):

HJ0[n_, f_]:= JC[n, 0, -1/2][[k]] f[(JR[n, 0, -1/2][[k]]+1) / 2]

Например, для интеграла вида (12.53), где , формула (12.52) с двумя узлами HJ0[2,f] дает точное значение 8/5.