Процесс Эйткена

Для применения правила Рунге нужно знать порядок точности квадратурной формулы. Однако, порядок не всегда известен. Тем не менее, результат расчетов можно уточнить, если провести расчеты на трех или более сетках.

Пусть метод имеет неизвестный порядок p. Для упрощения расчетов выберем три сетки с постоянным отношением длины шагов:

Обозначим:

I – точноезначение интеграла

I _k – значение интеграла, вычисленное на сетке с шагом h _k.

Ограничившись главным членом погрешности, можем записать оценки погрешности:

(12.54)

где С – постоянная. Имеем три уравнения и три неизвестных: I, C, p. Получаем

Отсюда

В правой части прибавим и вычтем слагаемое и найдем из полученного выражения I:

(12.55)

Попарно вычитая уравнения (3) получим

Отсюда находим эффективный порядок квадратурной формулы

(12.56)

В таблице приведены оценки абсолютной величины погрешности для разных квадратурных формул на классе функций, имеющих на отрезке кусочно непрерывную k -ю производную, ограниченную по модулю константой . Стрелка в таблице означает перенос оценки из предыдущего столбца. таблица взята из книги: Калиткин Н.Н. “Численные методы”.