Определение формулы интерполяционного типа

В отличие от предыдущих разделов не будем разбивать отрезок интегрирования на подотрезки. Построим квадратурную формулу вида

, (12.17)

где – узлы формулы, – коэффициенты, – весовая функция. Разбиение подынтегральной функции F на два сомножителя целесообразно, если эта функция имеет какие-либо особенности. В этом случае выделяют интегрируемую на отрезке весовую функцию, которая описывает особенности подынтегральной функции. Обычно предполагается, что .

Пример 12.6. При вычислении несобственного интеграла

,

где – непрерывная функция, целесообразно функцию рассматривать как весовую.

Пример 12.7. При вычислении интегралов в бесконечных пределах большое значение имеет закон, по которому функция убывает при . При вычислении таких интегралов целесообразно представить подынтегральную функцию в виде , где весовая функция описывает закон убывания , а является гладкой функцией, допускающей хорошее приближение интерполяционным многочленом.

В частном случае непрерывной подынтегральной функции можем считать и .

Для нахождения коэффициентов аппроксимируем функцию с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа

.

Подставим интерполяционный многочлен в формулу (12.17):

Поменяв в этой формуле порядок интегрирования и суммирования, придем к формуле (12.17), где

. (12.18)

Формула (12.17) называется квадратурной формулой интерполяционного типа, если ее коэффициенты определяются соотношением (12.18). Из равенства (12.18) видим, что особенности подынтегральной функции отражены уже в значениях коэффициентов .

Примерами формул интерполяционного типа являются рассмотренные ранее квадратурные формулы: прямоугольников, трапеций и Симпсона.