Формулы Ньютона-Котеса

Формулами Ньютона-Котеса называются квадратурные формулы интерполяционного типа, построенные на равномерной сетке: .

Различают два типа формул Ньютона-Котеса:

– замкнутого типа, когда ;

– открытого типа, когда хотя бы один из узлов не совпадает с соответствующей граничной точкой отрезка .

Рассмотрим формулы замкнутого типа: .

Преобразуем выражение для коэффициентов квадратурной формулы:

.

Произведем замену переменной интегрирования:

.

.

Учитывая, что , получим

. (12.26)

Если весовая функция – четна, то формулы Ньютона-Котеса – симметричны . Условие нормировки для коэффициентов B:

. (12.27)

Если , то

. (12.28)

Пример 12.9. Построим формулы Ньютона-Котеса с двумя и тремя узлами () и .

Если , получаем формулу трапеций: , и вследствие симметрии .

Если , то . Учитывая условие нормировки и симметрию формулы, находим . Получаем, тем самым, формулу Симпсона.

Ниже приведена таблица коэффициентов формул Ньютона-Котеса. Коэффициенты представлены в виде дробей , где – общий знаменатель. В таблице представлены только коэффициенты формул с нечетным числом узлов. Все эти формулы имеют порядок и дают точный результат для многочленов степени .

Таблица коэффициентов формул Ньютона-Котеса
n										Z
			-928		-4540		-928

Пример 12.10. Найдем интеграл по формуле Ньютона-Котеса с пятью узлами. Точное значение интеграла равно . Значения коэффициентов формулы берем из приведенной таблицы. Решение показано на рис. 12.6.