Адаптивные квадратурные алгоритмы

В адаптивных квадратурных программах отрезок интегрирования разбивается на подотрезки такой длины, при которой обеспечивается требуемая точность вычислений. Пусть требуется вычислить интеграл

В соответствии с правилом Рунге оценка погрешности вычислений на отрезке равна

,

где – результат приближенного вычисления интеграла на отрезке длиной ,

– результат вычислений при делении отрезка на два подотрезка половинной длины ,

p – порядок точности квадратурной формулы.

Основная операция типичной адаптивной программы состоит в делении каждого подотрезка пополам до тех пор, пока не будет выполнено следующее условие

,

где – допустимая погрешность вычислений интеграла на всем отрезке . Если это условие будет выполнено для каждого подотрезка, то будет достигнута требуемая точность вычислений. При этом длина подотрезков может быть разной.

Отметим, что приведенные рассуждения справедливы, если подынтегральная функция имеет p непрерывных производных, и, соответственно, погрешность на каждом подотрезке пропорциональна величине . Если подынтегральная функция не достаточно гладкая, то порядок квадратурной формулы становится неизвестным.

В системе Help системы Mathcad приведен пример простой адаптивной программы, в которой отрезок интегрирования делится на отрезки равной длины. Программа показана на рис. 12.4. Программа состоит из двух подпрограмм: Simpson(f,a,b,N) и Adapt(f,a,b). Первая подпрограмма вычисляет интеграл по формуле Симпсона на отрезке [a,b] для подынтегральной функции f; при этом отрезок [a,b] делится предварительно на N частей.

В подпрограмме Adapt задана абсолютная допустимая погрешность . Начальное число подотрезков выбрано равным N=10. Если при выбранном значении N погрешность слишком велика, количество подотрезков удваивается до тех пор, пока требуемая точность не будет достигнута.

Заметим, что в программе используется завышенная оценка погрешности формулы Симпсона: – вместо , как это следует из формулы Рунге. Поэтому для гладких подынтегральных функций программа дает завышенную точность. Однако, завышенная оценка погрешности во многих случаях позволяет избежать ошибок, если подынтегральная функция имеет какие-либо особенности.