![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Оценим погрешность формул интерполяционного типа.
Априорная оценка погрешности интерполяции:
Отсюда погрешности вычисления интеграла:
Обозначив , получим оценку погрешности квадратурной формулы интерполяционного типа:
(в предположении, что ). Отсюда следует утверждение:
Квадратурная формула интерполяционного типа с узлом:
– точна для любого многочлена степени n. Т.е., если подынтегральная функция
– многочлен степени n и коэффициенты
вычисляются по формуле (12.18), имеет место точное равенство:
.
В частности, при имеем условие нормировки коэффициентов:
. (12.19)
Если весовая функция отсутствует (), то условие нормировки выглядит совсем просто:
. (12.20)
Справедливо также обратное утверждение:
Если квадратурная формула
(12.21)
точна для любого многочлена степени n, то она является формулой интерполяционного типа.
Для доказательства теоремы в качестве произвольного многочлена можем взять многочлен, входящий в состав интерполяционного многочлена Лагранжа:
,
поскольку с помощью линейной комбинации многочленов можно описать любой многочлен степени n. Вычислим интегралы
.
По условию теоремы . Поскольку
, то
. С другой стороны
. Таким образом,
, что и требовалось доказать.
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 335 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!