Оценка погрешности формулы интерполяционного типа

Оценим погрешность формул интерполяционного типа.

Априорная оценка погрешности интерполяции:

Отсюда погрешности вычисления интеграла:

Обозначив , получим оценку погрешности квадратурной формулы интерполяционного типа:

(в предположении, что ). Отсюда следует утверждение:

Квадратурная формула интерполяционного типа с узлом: – точна для любого многочлена степени n. Т.е., если подынтегральная функция – многочлен степени n и коэффициенты вычисляются по формуле (12.18), имеет место точное равенство:

.

В частности, при имеем условие нормировки коэффициентов:

. (12.19)

Если весовая функция отсутствует (), то условие нормировки выглядит совсем просто:

. (12.20)

Справедливо также обратное утверждение:

Если квадратурная формула

(12.21)

точна для любого многочлена степени n, то она является формулой интерполяционного типа.

Для доказательства теоремы в качестве произвольного многочлена можем взять многочлен, входящий в состав интерполяционного многочлена Лагранжа:

,

поскольку с помощью линейной комбинации многочленов можно описать любой многочлен степени n. Вычислим интегралы

.

По условию теоремы . Поскольку , то . С другой стороны . Таким образом, , что и требовалось доказать.