Теоремы о многочлене, определяющем положение узлов формулы Гаусса

Теорема о необходимых и достаточных условиях точности квадратурной формулы не гарантирует существования и единственности многочлена степени n, ортогонального всем многочленам степени меньше n, притом такого, что все его корни расположены на отрезке [a,b]. Докажем теперь существование и единственность квадратурных формул наивысшей алгебраической точности.

Теорема. Существует единственный многочлен степени n со старшим коэффициентом, равным 1, ортогональный с весом на отрезке [a,b] любому многочлену степени меньше n.

· Доказательство.

· Условия ортогональности можно записать в виде:

. (12.40)

Условия (12.40) представляют собой неоднородную систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов :

. (12.41)

Соответствующую однородную систему запишем в виде:

. (12.42)

Покажем, что эта однородная система имеет только тривиальное решение: .

Для этого умножим каждое уравнение системы на и просуммируем уравнения:

,

или

.

Это равенство выполняется только в том случае, когда все коэффициенты равны нулю:

.

Следовательно, однородная система (12.42) имеет только тривиальное решение, а соответствующая неоднородная система (12.41) имеет единственное решение.

Теорема доказана.

Теорема. Если – многочлен степени n, ортогональный с весом на отрезке [a,b] любому многочлену степени меньше n, то все его корни различны и расположены на отрезке [a,b].

· Доказательство.

Предположим, что многочлен имеет m различных корней нечетной кратности на отрезке [a,b]. Очевидно, что . Теорема будет доказана, если мы покажем, что m=n.

Многочлен можно записать в виде:

,

где – нечетные числа, описывающие кратности корней, а r(x) – многочлен, не меняющий знак на отрезке [a,b]. Функция r(x) может иметь корни только четной кратности в пределах отрезка [a,b] и корни за пределами этого отрезка. В частном случае .

Рассмотрим многочлен степени . Вычислим интеграл

.

Если степень многочлена q(x) меньше n, то по свойству ортогональности данный интеграл должен быть равен нулю. Но данный интеграл не может быть равен нулю, т.к. подынтегральное выражение не меняет знак на отрезке интегрирования. Следовательно, степень многочлена q(x) равна m=n, и многочлен имеет n различных корней на отрезке [a,b].

Теорема доказана.