Правило Рунге

Если подынтегральная функция – достаточно гладкая, то правило Рунге позволяет найти оценку погрешности приближенного интегрирования.

Пусть вычисления проводятся с помощью квадратурной формулы, имеющей порядок p. Обозначим:

– результат приближенного вычисления интеграла ;

– результат приближенного вычисления того же интеграла при делении отрезка на два подотрезка половинной длины .

Погрешность вычислений:

,

,

где C – константа, зависящая от значения производной .

.

Первая формула Рунге – оценка погрешности вычислений с делением отрезка пополам:

(12.13)

Вторая формула Рунге – уточненный результат:

(12.14)

Замечание. Формулы Рунге применимы, когда известен порядок точности квадратурной формулы. Однако, порядок формулы зависит от гладкости подынтегральной функции. Для функций, имеющих особенности, порядок точности уменьшается и формулы Рунге неприменимы.

Пример 12.3. С помощью составной формулы трапеций вычислим интеграл от гладкой функции на отрезке , поделив отрезок на подотрезков. Повторим вычисления для удвоенного числа отрезков и уточним результат по правилу Рунге. На рис.12.3 приведено решение в среде Mathcad.

Пример 12.4. Используя формулу трапеций и правило Рунге, найдем более точную квдратурную формулу.

Обозначим:

Формула трапеций на всем отрезке :

Формула трапеций при делении отрезка пополам:

Уточненное значение интеграла:

Получили формулу Симпсона.